Exploiter une série de mesures - Maxicours

Exploiter une série de mesures

Objectifs
  • Connaitre le vocabulaire lié à une mesure.
  • Exploiter l’histogramme d’une série de mesures.
  • Estimer la valeur vraie d’une série de mesures grâce à la moyenne.
  • Estimer la dispersion d’une série de mesures grâce à l’écart-type.
Points clés
  • Toute mesure comporte des erreurs.
  • Les résultats de mesures peuvent être utilisés pour en estimer la valeur vraie.
  • On utilise un histogramme pour visualiser la dispersion des mesures.
  • On utilise la valeur moyenne pour estimer la valeur vraie et l’écart-type pour mesurer la dispersion des mesures autour de cette moyenne.
Pour bien comprendre

Statistiques : regroupement en classes, histogramme, moyenne, écart-type

1. Le vocabulaire lié à une mesure
a. Mesurande et mesurage

En physique-chimie, on réalise souvent des séries de mesures durant les travaux pratiques.

La grandeur que l’on cherche à mesurer s’appelle le mesurande.
Le processus expérimental qu’on met en œuvre à cet effet s’appelle le mesurage.
Exemple
  • On mesure l’intensité d’un courant électrique à l’aide d’un ampèremètre.
  • Le mesurande est la valeur de l’intensité.
  • Le mesurage est effectué avec un ampèremètre.
b. Valeur vraie

Une mesure n’est jamais exacte car les appareils et protocoles comportent des imperfections.
Le but d’une mesure est d’estimer la valeur « vraie » d’une grandeur physique.

La valeur vraie du mesurande est la valeur qu’on obtiendrait si le mesurage était parfait.
2. Exploiter graphiquement une série de mesures
a. Exemple de représentation d'une série de mesures par un histogramme

Voici une série de 20 mesures d’une intensité électrique i en milliampère.

151,9 152,4 145,6 149,7 150,8 153,1 147,8 147,5 150,3 149,1
146,3 148,6 152,5 151,2 150,3 149,4 150,7 150,1 152,8 149,4

On cherche à construire l'histogramme de cette série de mesures : on regroupe pour cela des valeurs en classes (intervalles de valeurs).

L'histogramme va représenter l'effectif en fonction des valeurs d'intensité. 

Dans un histogramme, l’aire des rectangles est proportionnelle à l’effectif.

Il y a par exemple 3 mesures dans la classe [152 ; 153[.
En regroupant toutes les valeurs, on obtient l'histogramme suivant. 


Histogramme obtenu pour 20 mesures
b. Intérêt d'un histogramme

La représentation graphique en histogramme donne un bon aperçu de la dispersion des mesures.

Si on augmente le nombre de mesures, on constate que l’histogramme prend l’allure d’une cloche, qu'on appelle « courbe de Gauss ». 

Cette courbe donne des indications sur des indicateurs statistiques, que nous allons voir par la suite.


Histogramme obtenu pour 250 mesures
3. Les indicateurs statistiques
a. Estimer la valeur vraie d'une série de mesures

Si on effectue N mesures (x1 ; x2 ; … ; xN), la meilleur estimation de la valeur vraie est la valeur moyenne  des N mesures, telle que :

 

Exemple
On reprend ci-dessous la série de 20 mesures d’intensité étudiée précédemment.
151,9 152,4 145,6 149,7 150,8 153,1 147,8 147,5 150,3 149,1
146,3 148,6 152,5 151,2 150,3 149,4 150,7 150,1 152,8 149,4

La calculatrice (en mode statistique) donne  = 150,0 mA (le calcul consiste à sommer toutes les valeurs de ce tableau et à diviser par le nombre de valeurs, ici 20).
Une estimation de la valeur vraie de l’intensité mesurée est donc 150,0 mA.

La valeur vraie (ou valeur moyenne) peut également être estimée graphiquement, comme étant l’abscisse qui coupe l’axe de symétrie de la courbe de Gauss.

Exemple
Sur l’histogramme ci-dessous, on peut estimer graphiquement que la valeur vraie de l’intensité est 150 mA.

Les valeurs de l'intensité mesurées sont dispersées de part et d'autres de cette valeur vraie. 

Estimation graphique de la valeur moyenne
b. Estimer la dispersion d'une mesure
Pour déterminer la dispersion des valeurs autour de la moyenne, on calcule l’écart-type expérimental .

L'écart-type  se calcule avec un tableur, une calculatrice ou à l’aide de la formule suivante.

 

Exemple
On reprend la série de mesures sur l’intensité précédente.
À l’aide d’un tableur, on trouve un écart-type  = 2,14 mA.
Remarques
  • On n’utilise pas le même écart-type en physique () qu’en mathématiques ().
  • En physique, on utilise l’écart-type expérimental. Il se lit « x  n1 » avec Casio et « Sx » avec Texas Instrument.
  • En mathématiques, l’écart-type se lit « x  n » sur une Casio et «  x » sur une Texas Instrument.

L’écart-type mesure la dispersion (l’étalement) des valeurs autour de la valeur moyenne.

Plus l’écart-type  est petit, plus les valeurs sont resserrées autour de la moyenne et donc de la valeur vraie.
Exemple
On étudie l’histogramme de deux séries de mesures
(la série n° 1 correspond aux valeurs étudiées précédemment).

Histogramme de deux séries de mesures
La série de mesures n° 2 est plus resserrée autour de sa moyenne que la série de mesures n° 1 : la courbe a un pic plus fin.

On a donc , ce qui signifie que les mesures de la série n° 2 ont plus de chance d’être proches de la valeur vraie.

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