Expliquer et évaluer une incertitude-type - Maxicours

Expliquer et évaluer une incertitude-type

Objectifs
  • Connaitre la signification d’une incertitude-type.
  • Estimer une incertitude-type.
  • Interpréter une incertitude-type en termes d’intervalle de confiance.
Points clés
  • À partir d’une série de N mesures, on calcule une moyenne (m) et un écart-type expérimental ().
  • L’incertitude-type est .
  • Il y a 95 % de chances que la valeur vraie soit comprise entre m – 2u et m + 2u.
Pour bien comprendre

Savoir utiliser la calculatrice et le tableur pour déterminer des indicateurs statistiques

1. La signification d'une incertitude-type

On ne connait pas la valeur exacte de la valeur mesurée dans la plupart des mesures physiques.
Toute mesure comporte en effet des erreurs. Ces erreurs, aléatoires, peuvent être dues aux variations des conditions expérimentales (température, pression, etc.), au matériel utilisé pour la mesure ou encore à l'expérimentateur lui-même.

On appelle erreurs de mesure les écarts des résultats par rapport à la valeur vraie.

Pour tenir compte de ces écarts (inconnues et aléatoires), une mesure est toujours accompagné d'une incertitude.

2. Estimer une incertitude-type

L’incertitude-type de mesure u est un paramètre associé au mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à la valeur mesurée (mesurande).

L’incertitude-type associée à la mesure de cette grandeur dépend du nombre N de mesures réalisées (x1 ; x2 ; … ; xN ).
On ne peut donc qu’estimer cette l’incertitude-type en la calculant.

On appelle ainsi incertitude-type le nombre noté u (uncertainly) qui est égal à , avec :

  • l’écart-type de la série de mesures ;
    Remarques
    L'écart-type d’une série de mesures est égal à .

    L’écart-type se calcule en utilisant un tableur ou la calculatrice en mode statistique (« x  n–1 » avec Casio et « Sx » avec Texas Instrument).
  • N le nombre de mesures de la grandeurs.
Remarques
Plus le nombre N de mesures est élevé, plus l’incertitude est faible.
On arrondit l’incertitude-type d’une grandeur par excès et on ne garde qu’un seul chiffre significatif.
Exemple
La mesure d’une même intensité a été réalisée avec 10 ampèremètres identiques.
Les résultats (en milliampère) figurent dans le tableau suivant.
120,0 119,0 120,1 119,8 119,4 120,5 120,1 119,4 119,4 119,5

On a donc N = 10.
La calculatrice en mode statistique nous donne  = 0,454 mA.
L’incertitude-type est donc .
On arrondit par excès en ne gardant qu’un seul chiffre significatif : u = 0,2 mA.

3. Intervalle de confiance de la valeur vraie

L’incertitude-type permet de définir un intervalle dans lequel la valeur vraie a de grandes chances de se trouver. Cet intervalle est centré sur la valeur moyenne m.

Si m est le résultat d’une mesure ou la moyenne des mesures et u est son incertitude-type, alors :
  • il y a 68 % de chances que la valeur vraie soit comprise entre m – u et m + u ;
  • il y a 95 % de chances que la valeur vraie soit comprise entre m – 2u et m + 2u.
Exemple
On étudie une série de mesures pour une même intensité ; on obtient la moyenne m = 119,7 mA et l’incertitude-type u = 0,2 mA.
Il y a ainsi 95 % de chances qu’une mesure de l’intensité se trouve entre 119,7 – 0,4 = 119,3 mA et 119,7 + 0,4 = 120,1 mA.

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