Le vecteur vitesse - Maxicours

Le vecteur vitesse

Objectifs
  • Connaitre la différence entre la vitesse moyenne et la vitesse instantanée d’un point.
  • Comprendre la notion de vecteur vitesse d’un point.
  • Connaitre la définition du vecteur vitesse moyenne d’un point.
  • Construire le vecteur vitesse d’un point.
Points clés
  • La vitesse moyenne est le rapport entre la distance parcourue par un mobile et la durée nécessaire pour parcourir cette distance.
  • La vitesse en un point est approchée lorsque le vecteur déplacement est très petit.
  • La vitesse d’un point mobile M à l’instant t peut être modélisée par un vecteur qui possède les caractéristiques suivantes :
    • Une direction : celle de la tangente à la trajectoire au point occupé par M à l’instant t.
    • Un sens : celui du mouvement.
    • Une intensité : , où MM’ est la norme du vecteur déplacement et  est l’intervalle de temps entre M et M’.
    • Un point d’application : au point M considéré.
Pour bien comprendre
  • Mouvement d’un objet
  • Vitesse d’un point
  • Caractéristiques d’un vecteur
1. Vitesse moyenne et vitesse d'un point
a. Vitesse moyenne

Soit M un point qui se déplace entre les positions A et B.


Déplacement du point M entre A et B
La vitesse moyenne du point entre les positions A et B est égale à la longueur du trajet AB divisée par la durée  nécessaire pour parcourir la distance AB.

 

 

avec :
  • la vitesse moyenne en mètre par seconde (m·s–1) ;
  • AB la distance parcourue en mètre (m) ;
  • la durée du parcours en seconde (s).
Remarques
On utilise aussi le kilomètre par heure (km/h ou km·h–1). Il faut dans ce cas convertir d’un système d’unités à l’autre.

Pour passer d’une vitesse exprimée en kilomètre par heure à une vitesse exprimée en mètre par seconde, on divise par 3,6.

Pour passer d’une vitesse exprimée en mètre par seconde à une vitesse exprimée en kilomètre par heure, on multiplie par 3,6.


Conversion des km/h à des m/s, et des m/s à des km/h
Exemple de conversion
La vitesse d’une voiture est v = 90 km·h–1. Pour la convertir en mètre par seconde, on peut procéder de la façon suivante.
  • Convertir les kilomètres en mètre : 90 km = 90 × 103 m
  • Convertir les heures en seconde : 1 heure = 3600 secondes
  • Réaliser le calcul de la vitesse :
b. Vitesse en un point (ou vitesse instantanée)

Lorsque les positions A et B du point sont très proches, c’est la vitesse du point en M : on l’appelle aussi la vitesse instantanée.

La vitesse en un point est une vitesse à un instant précis, en un point de la trajectoire du point M.

La vitesse instantanée d’un objet à la date t correspond en pratique à la vitesse moyenne de cet objet entre deux dates très proches.

Exemple
La vitesse donnée par le tachymètre (compteur de vitesse) de la voiture donne la vitesse instantanée à un instant précis.
Au cours d’un voyage, un conducteur roule à une vitesse moyenne de 60 km·h–1 ; sa vitesse instantanée a toutefois pu être de 50 km·h–1 en ville ou bien de 130 km·h–1 sur autoroute.
2. Vecteur vitesse
a. Notion de vecteur en sciences physiques

Un vecteur est un outil mathématiques qui a quatre caractéristiques :

  • une direction ;
  • un sens ;
  • une intensité qui correspond à la norme (longueur) du vecteur ;
  • un point d’application.

Le vecteur est représenté par un segment fléché.


Description du tracé d’un vecteur
Exemple
Le vent peut être représenté par des vecteurs car il possède une ou plusieurs directions, un ou plusieurs sens, une ou plusieurs intensités (valeurs) et des points d’application.
b. Vecteur déplacement d'un point

Le déplacement correspond au changement de position d’un objet (ou d’un point) au cours de son mouvement.

Pour une trajectoire donnée, le déplacement est défini par la position de l’objet à l’instant final moins la position de l’objet à l’instant initial.

Avec les vecteurs, si l’objet passe du point M au point M’, le vecteur déplacement sera : .


Vecteur déplacement d’un point sur une trajectoire
3. Vecteur vitesse d'un point
a. Définition

Le vecteur vitesse d’un point mobile M à l’instant t possède les caractéristiques suivantes.

  • Une direction : celle de la tangente à la trajectoire au point occupé par M à l’instant t.
  • Un sens : celui du mouvement.
  • Une intensité : , où MM’ est la norme (longueur) du vecteur déplacement en mètre et  est l’intervalle de temps entre M et M’ en seconde.
  • Un point d’application : au point M considéré.

Tracé du vecteur vitesse en un point M6
Remarque : la vitesse en un point est en fait la vitesse moyenne entre deux positions proches.
b. Construire le vecteur vitesse d'un point

Soit un point M en mouvement, qui met une durée  pour parcourir la distance entre deux positions de la trajectoire.

Méthode

Pour construire le vecteur vitesse au point M5, voici les étapes à suivre.

  1. Mesurer le segment M5M6. Convertir éventuellement en mètre.
  2. Calculer la valeur de la vitesse .
  3. Tracer le vecteur vitesse.
    • Direction : tangente à la trajectoire.
    • Sens : celui de la trajectoire.
    • Intensité : la longueur du vecteur vitesse doit être calculée à partir de l’échelle imposée.
    • Point d’application : le point M5.

On obtient ainsi la figure suivante.


Tracé du vecteur vitesse en un point M5

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