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Peut-on tout démontrer ?

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1. Que signifie « démontrer » ?
a. La notion de démonstration
« Démontrer » implique d'établir de façon rigoureuse la vérité d'un énoncé ou d'une idée par la voie de la déduction, en les rattachant par un lien nécessaire à d'autres propositions ou idées évidentes ou déjà démontrées.
b. La démonstration, distincte de la preuve et de l'argumentation
Il faut distinguer la démonstration, de la preuve, et de l'argumentation.
• La démonstration est d'ordre rationnel. Elle vise la vérité absolue de la conclusion et s'appuie sur des assertions certaines.
• La preuve est plutôt d'ordre empirique (la découverte de l'arme du crime sur un suspect est une preuve, non une démonstration, de sa culpabilité) ;
• L'argumentation, qui vise seulement à convaincre autrui et prend pour point de départ une idée admise comme vraie par l'auditeur.
De sorte que, si l'on peut argumenter sur tout, il n'est cependant pas certain que l'on puisse tout démontrer.
c. Le modèle mathématique
Le modèle de toute démonstration s'impose dans les mathématiques, plus précisément dans la géométrie euclidienne, qui procède par voie déductive à partir de principes premiers (axiomes, postulats, définitions) : chaque proposition ou théorème nouveaux se trouvent ainsi reliés, de façon déductive et nécessaire, aux principes initiaux.
Ces « longues chaînes de raison dont les géomètres ont coutumes de se servir », selon les termes de Descartes, sont considérées comme un modèle pour l'ensemble des autres sciences, comme aussi pour la philosophie elle-même : suivre le modèle mathématique en physique ou en philosophie, ce serait assurer à celles-ci la même rigueur et, par suite, le même degré de certitude.
C'est pourquoi Spinoza dans l'Éthique, ou Descartes dans les Réponses aux Secondes Objections, procèdent more geometrico, « à la manière des géomètres ».

2. Le problème des principes : tout n'est pas démontrable
a. Problème : ce qui est premier ne saurait être démontré
La difficulté est la suivante : si la démonstration se fait à partir de principes premiers considérés comme certains, d'où viennent ces principes eux-mêmes ? Ce qui est premier, assurément, ne saurait être démontré : sans quoi, comme l'a noté Aristote, il faudrait « remonter à l'infini », on n'aurait jamais aucun principe ni fondement stable pour les sciences.
b. La question des principes mathématiques et logiques
Les mathématiques, nous l'avons dit, procèdent démonstrativement à partir d'axiomes, de postulats, de définitions : or les noms mêmes d'« axiome » (du grec, axiaô, « je pose ») et de « postulat » indiquent bien que ces principes ne sont pas démontrés, mais posés à titre d'exigences initiales, de thèses considérées comme indubitables – mais d'où alors ces principes tirent-ils leur certitude ?
La problème est le même dans le domaine logique : si tout raisonnement se fonde sur le principe d'identité et de non-contradiction, d'où viennent donc ces principes eux-mêmes ?
c. Solution de cette difficulté : le coeur et la raison
Selon Pascal, les principes premiers ne sauraient être issus de la raison, de la démonstration, mais du « cœur et de l'instinct » d'où sont immédiatement issues nos premières certitudes : « Nous connaissons la vérité non seulement par la raison mais aussi par le cœur. C'est de cette dernière sorte que nous connaissons les principes, et c'est en vain que le raisonnement, qui n'y a point de part, essaie de les combattre. »
Nous « sentons » que le tout est plus grand que la partie, ou que les nombres sont infinis : « les principes se sentent, les propositions se concluent, et le tout avec certitude mais par différentes voies ».
C'est pourquoi Pascal écrit que « le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point » : car le cœur, faculté des principes, est ce qui donne à la raison le fondement ou le point de départ de toutes ses démonstrations, auxquelles elle ne saurait accéder par elle seule.

3. Le problème de l'indécidabilité ou de l'indémontrabilité
a. Le problème de la métaphysique
La métaphysique interroge les causes premières de toutes choses, par exemple l'existence de Dieu ou de l'âme ; or ces questions, comme l'a montré Kant à travers ses « antinomies de la Raison pure », aboutissent à des réponses contradictoires dont chacune semble également pourvoir être démontrée : parce qu'elles portent sur des absolus, et sur des termes qui ne sauraient avoir de preuves empiriques, les propositions métaphysiques demeurent « indécidables », c'est-à-dire qu'elles peuvent être aussi bien vraies que fausses, que l'on ne peut « décider » ultimement de leur valeur de vérité.
b. Indécidabilité et incomplétude
Or un problème du même ordre se pose au sein même des sciences dites « exactes » : le mathématicien Gödel a montré, à travers son « théorème d'incomplétude », que tout système formel (par exemple mathématique) relativement complexe, comprend nécessairement des propositions indécidables, dont la vérité ou la fausseté ne sauraient être démontrées.
c. Les limites de la raison humaine
Ainsi nous voyons que la raison humaine est essentiellement limitée, à la fois en amont et en aval d'elle-même, et qu'elle ne saurait tout démontrer :
• elle doit d'abord se fonder sur autre chose qu'elle même en ce qui concerne la connaissance des principes,
• elle doit renoncer à connaître ce qui relève de l'absolu, et dans les sciences mêmes elle se heurte à des assertions qu'elle ne parvient ni à justifier, ni à réfuter.
Il faut donc comprendre que, si la raison et la démonstration constituent des capacités essentielles de l'homme, elles n'en sont pas moins, comme l'homme lui-même, des puissances limitées ou finies.

Pour aller plus loin
Descartes, Discours de la Méthode (II) : sur le modèle démonstratif des mathématiques.
Réponses aux Secondes Objections (à la fin des Méditations Métaphysiques) : sur la méthode more gometrico.

Aristote, Métaphysique (4) : sur le principe d'identité et son caractère indémontrable.

Robert Blanché, L'axiomatique (chap. I) : sur les fondements des mathématiques et les défauts du système euclidien.

Pascal, Pensées (110 et 423) : sur la distinction entre le « cœur » et la « raison ».

Kant, Critique de la Raison Pure (« Logique Transcendantale ») : sur les illusions de la raison relevant de la métaphysique, et les « antinomies ».

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