Les modèles démographiques

À l’échelle d’un pays ou d’un continent, l’effectif d’une population évolue constamment. Afin d’anticiper les besoins en ressources (eau, nourriture…), il est important de savoir prédire au plus près l’effectif futur d’une population, ainsi que la quantité de ressources qui lui seront nécessaires.

Pour cela, on peut « modéliser », c'est-à-dire partir de données statistiques actuelles sur cette population, et chercher une « traduction » mathématique (formule, équation…) qui les relie le mieux possible. Cette « traduction » mathématique permet ensuite d’effectuer des prévisions.

Pour modéliser l’évolution d’une population, on utilise une suite numérique dont la grandeur u évolue en fonction d’une variable n. Comme n ne prend que des valeurs entières positives (0, 1, 2, 3, 4...), u évolue par paliers, on dit que u est une grandeur « discrète ».

Graphiquement, une suite se représente par un nuage de points non reliés. Dans certains cas, ce nuage de points peut être ajusté par une droite (modèle linéaire) ou par une courbe exponentielle (modèle exponentiel).

Remarque
Dire que la variation absolue [u_n+1– u_n] est constante revient à dire que l’on passe d’un terme u_n au terme suivant u_n+1 en ajoutant toujours la même constante réelle r.

Dans ce cas, la suite de terme général u_n est arithmétique de raison r. L’expression du terme u_n en fonction de n est donné par la relation  : u_n = u₀ + nr.

On obtient la représentation graphique suivante en nuage de points, où tous les points de coordonnées (n ; u_n) sont situés sur une droite  :

Une calculatrice ou un tableur permet d’afficher la droite ajustant le nuage de points, et d’en donner une équation.

1. Ouvrir une feuille de tableur et y saisir :
   
   • en colonne A, l’année  ;
   • en colonne B, le rang de l’année (de 0 à n)  ;
   • en colonne C, l’effectif de la population considérée.
   À la ligne 1, préciser les titres des trois colonnes.
2. Sélectionner les deux colonnes. Dans « insertion », cliquer sur « insérer un graphique en nuages de points ». On obtient ainsi une représentation graphique en nuage de points de l’évolution de la population entre les années 0 et n.
3. Si les points du nuage sont presque alignés, il est pertinent de réaliser un ajustement de ce nuage par une droite. Pour cela, effectuer un clic droit sur l’un des points. Sélectionner « courbe de tendance », « linéaire », et « afficher l’équation ». On obtient la droite d’ajustement et son équation.
4. Utiliser l’équation de la droite d’ajustement pour effectuer des prévisions.

Pour certaines populations, la variation relative  est presque constante d’un palier à l’autre. L’allure du nuage de points représentant l’évolution de la population se rapproche alors d’une courbe exponentielle.
Dans ce cas, on peut ajuster le nuage de points par une courbe exponentielle.
Le modèle est alors qualifié d’exponentiel.

1. Reprendre la première étape de la méthode précédente.
2. Reprendre la deuxième étape de la méthode précédente.
3. Si l’allure du nuage de points se rapproche d’une courbe exponentielle, il est pertinent de réaliser un ajustement de ce nuage par une courbe exponentielle. Pour cela, effectuer un clic droit sur l’un des points. Sélectionner « courbe de tendance », « exponentielle », et « afficher l’équation ». On obtient la droite d’ajustement et son équation.
4. Utiliser l’équation de la courbe d’ajustement pour effectuer des prévisions.

On note E₁ l’effectif initial d’une population à un instant 1 et E₂ son effectif au bout de n années.On cherche la valeur de n telle que la population a doublé au bout de n années.

Cette méthode donne une valeur approximative, moins fiable que celle obtenue par le calcul :

1. Lire sur l’axe des ordonnées la valeur de l’effectif initial E₁.
2. Repérer en ordonnée la valeur E₂= 2 × E₁ et chercher en abscisse la valeur n₂ qui lui correspond.
3. Repérer dans les données l’année correspondant à cette valeur n₂.
4. Calculer la différence entre l’année correspondant au rang n₂ et celle correspondant au rang 0. Cette différence est égale au temps de doublement.

Exemple
On donne la représentation graphique suivante de l’évolution d’une population :

1. On lit sur l’axe des ordonnées : E₁= 80 millions d’habitants.
2. Pour E₂= 160, on trouve n ≈ 3,5.
3. L’année qui correspond à 3,5 est 1985.
4. Le temps de doublement de la population est donc
   1985 – 1950 = 35 ans.

Si l’effectif d’une population augmente de manière exponentielle à un taux annuel t, alors l’effectif E₂ au bout de n années est :
E₂ = E₁ × (1 + t)ⁿ .
On cherche alors le plus petit entier n tel que :

1. Ouvrir une feuille de tableur et y saisir :
   • en colonne A, l’année ;
   • en colonne B, le rang de l’année (de 0 à n) ;
   • en colonne C, le calcul de (1 + t)ⁿ.
   À la ligne 1, préciser les titres des trois colonnes.
2. En A3, saisir « =A2+1 » et étirer cette cellule vers le bas. En B3, saisir « =B2+1 » et étirer cette cellule vers le bas. En C2, saisir « =1,02^B2 » et étirer cette cellule vers le bas.
3. Dans le tableau, repérer à partir de quelle année (1 + t)ⁿ devient supérieur à 2.
4. Calculer la différence entre l’année obtenue en 3 et celle correspondant au rang 0. Cette différence est égale au temps de doublement.

Thomas Malthus (1766-1834) est un économiste britannique. En 1798, il publie un essai stipulant que lorsque la population n’est arrêtée par aucun obstacle (guerre, famine, épidémie…), elle double tous les 25 ans, donc croît de façon géométrique.

On note t_n le taux annuel de natalité et t_m le taux annuel de mortalité.
Le taux de variation annuel de la population est :

t = t_n – t_m

Évolution de l'effectif d'une population selon le modèle de Malthus

Dans le modèle de Malthus, chaque année, l’effectif de la population est multiplié par (1 + t), donc au bout de n années, on peut prédire que l’effectif de la population aura été multiplié par (1 + t)ⁿ .

Pour que le modèle de Malthus puisse s’appliquer sur un temps long, il faut une quantité de ressources suffisante pour nourrir la population.

De la fin du XVIII^e siècle jusqu’à aujourd’hui, on a observé une croissance exponentielle de la population mondiale d’environ 1 % par an :

Évolution de la population mondiale

Avec une croissance annuelle de 1 %, le temps de doublement de la population mondiale est de 65 ans.
La population mondiale en 2015 a été estimée à 7,5 milliards d’êtres humains. Si le taux de 1 % se maintient, la population mondiale devrait donc être d’environ 480 milliards en 2405.

Prévision de l'évolution de la population mondiale,
avec une croissance annuelle de 1 %

Nourrir 480 milliards d’êtres humains demande un certain nombre de ressources disponibles. Or, qu’en est-il de ces ressources ?

Depuis une soixantaine d’années, on observe que l’évolution de la production mondiale de céréales augmente de manière presque linéaire.

Productions mondiales de maïs, blé et riz entre 1960 et 2011

L’évolution de la production mondiale de céréales peut donc être modélisée par une suite arithmétique.

Si l’effectif d’une population augmente de manière exponentielle alors que la quantité de ressources augmente de manière linéaire, alors à partir d’un certain moment, les deux courbes se croisent. À partir de ce croisement, les ressources ne sont plus suffisantes pour couvrir les besoins de la population.

Comparaison entre une croissance exponentielle et une croissance linéaire

Le modèle de Malthus de croissance exponentielle de la population est donc irréaliste à long terme.

De plus, depuis quelques années, le taux de natalité baisse. On observe une stabilisation, voire un fléchissement de certaines populations, en fonction des continents. Par exemple en Europe, la population stagne depuis les années 1990 :

Évolution de la population européenne depuis les années 1950

Prévision de l'évolution de la population mondiale