L'optimisation du transport de l'électricité

Le transport de l’énergie électrique entraine des pertes par effet Joule : les câbles s’échauffent et de l’énergie thermique est dissipée dans l’environnement. Ces pertes représentent un peu plus de 2 % de l’énergie électrique transportée.

Chaque câble électrique possède une résistance, il subit donc des pertes par effet Joule. Ces pertes sont d’autant plus grandes que les câbles sont longs et que l’intensité du courant est élevée.

La formule suivante établit le lien entre la puissance transportée par le câble, la puissance distribuée et la puissance dissipée par effet Joule.

On voit que toute la puissance ne parvient pas à l’utilisateur.

La puissance dissipée par effet Joule dans un câble électrique est donc la suivante.

La loi d’ohm appliquée au câble électrique est la suivante.

On en déduit la relation entre la puissance P_effet Joule, la résistance R_câble et l’intensité du courant I.

Dans un câble électrique, la puissance thermique dissipée par effet Joule est donnée par la relation suivante.

Lignes à haute tension

Or, P_effet Joule = R_câble × I²

Pour diminuer les pertes par effet Joule, donc diminuer la valeur de P_effet Joule, il faut ainsi :

• soit diminuer la résistance des câbles R_câble : il s’agit d’utiliser des matériaux qui soient de très bons conducteurs ;
• soit diminuer la valeur de l’intensité du courant I.
  On a P_transportée = U × I, donc I = , avec U la tension d’alimentation fournie.
  Pour une valeur de puissance P_transportée fixe transportée par le câble, la valeur de l’intensité I peut être diminuée en augmentant la tension d’alimentation fournie U.

Des transformateurs sont installés sur le réseau, afin de modifier la valeur d'une tension : ces dispositifs permettent d’augmenter la tension pour limiter les pertes par effet Joule dans les câbles électriques, puis ils permettent de diminuer la tension pour la rendre utilisable par les usagers.

Transformateur

Voici un schéma qui présente un réseau de transport et de distribution électrique via des lignes à haute tension et des lignes à basse tension.

Réseau de transport électrique

Dans ce réseau de transport électrique :

1. l’électricité est produite par l’éolienne (générateur) ;
2. un transformateur augmente la tension produite par l’éolienne pour obtenir une haute tension.
3. cette haute tension est transportée par les lignes à haute tension, en passant par un répartiteur qui va diriger l’électricité à l’échelle régionale ou nationale ;
4. un autre transformateur diminue la tension, pour la distribuer à l’échelle locale grâce à des lignes à basse tension ;
5. l’énergie est utilisée par les différents usagers.

Voici un circuit électrique qui permet de modéliser le transport de l’électricité de ce réseau grâce aux lignes électriques.

Modélisation du réseau de transport électrique
par un circuit électrique

Un réseau de transport électrique peut être modélisé par un graphe orienté, très utile pour résoudre mathématiquement le problème de minimisation des pertes par effet Joule.

On souhaite modéliser un réseau de transport électrique constitué :

• d’une éolienne et un panneau photovoltaïque, qui sont les deux sources d’énergie électrique ;
• d’un répartiteur pour ajuster la production en fonction des besoins ;
• d’une maison et une usine, qui sont les deux cibles utilisatrices de l’électricité ;
• de quatre câbles électriques pour le transport.

Voici un schéma de ce réseau de transport électrique.

Schéma du réseau de transport électrique

Voici une modélisation de ce réseau de transport électrique par un circuit électrique.

Modélisation du réseau de transport électrique
par un circuit électrique

• Les sources S₁ et S₂ représentent les générateurs d’énergie électrique (éolienne et panneau photovoltaïque ici).
• Les cibles C₁ et C₂ représentent les utilisateurs d’énergie électrique (maison et usine ici).
• R₁, R₂, R₃ et R₄ sont les résistances des câbles électriques.
• I₁, I₂, I₃ et I₄ sont les intensités des courants qui circulent dans les câbles électriques.
• Le point N au milieu s’appelle le nœud : il représente le répartiteur du circuit.

Voici une modélisation du réseau de transport électrique par un graphe orienté.

Modélisation du réseau de transport électrique
par un graphe orienté

• Les lignes électriques sont représentées par des arcs (segments) orientés dans le sens du courant.
• Les sources S₁ et S₂, et les cibles C₁ et C₂ sont situées aux sommets de ces arcs.

• Puissance dissipée par effet Joule : P_effet Joule = R × I²
• La puissance totale dissipée par effet Joule sur l’ensemble d’un réseau est la somme de toutes les puissances dissipées par effet Joule : P_{totale effet Joule} = P_{effet Joule 1} + P_{effet Joule 2} + … + P_{effet Joule 5} + …
• Puissance d’un dispositif : P = U × I

Un réseau de transport électrique doit respecter trois contraintes pour répartir l’intensité.

Chaque source fournit une puissance variable, en fonction des besoins, mais possède une capacité de puissance maximale P_max.
La tension U est de plus constante à ses bornes.

L’intensité qui en sort est donc variable mais elle est inférieure à l’intensité maximale possible I_max.

Si I₁ et I₂ arrivent à un nœud et que I₃ et I₄ repartent du nœud, alors :

I₁ + I₂ = I₃ + I₄

Exemple

On a bien 40 + 32 = 14 + 58.

Chaque usager utilise une intensité dont la valeur dépend de son abonnement de puissance électrique. La tension d’utilisation étant constante, l’intensité utilisée possède donc une valeur fixe.

Minimiser les pertes par effet Joule sur un réseau de transport électrique consiste à réduire la valeur de la puissance dissipée par effet Joule P_effet Joule.

Voici la méthode à suivre.

Étape 1 – Modéliser le réseau de transport électrique par un graphe orienté.

Étape 2 – Établir l’expression mathématique des trois contraintes du réseau de transport électrique.

Étape 3 – Établir la fonction qui permet d’exprimer la puissance totale dissipée par effet Joule P_effet Joule pendant le transport, en fonction de l’intensité.

Étape 4 – Déterminer le minimum de la fonction polynôme du second degré obtenue, à partir d’un graphique fourni, ou à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.

On étudie un réseau de transport électrique qui est constitué de deux sources d’énergie électrique (S₁ et S₂), de quatre câbles, d’un nœud de répartition (N) et de deux cibles utilisatrices (C₁ et C₂).

• Source 1 :
  • Puissance maximum délivrée :  = 18 000 W
  • Tension à ses bornes :  = 360 V
• Source 2 :
  • Puissance maximum délivrée :  = 10 000 W
  • Tension à ses bornes :  = 260 V
• Résistances des câbles : R₁ = 0,8 Ω ; R₂ = 0,6 Ω ; R₃ = R₄ = 1 Ω
• Les cibles fonctionnent chacune sous une puissance P = 6000 W et sous une tension U = 230 V.

Étape 1 – On modélise le réseau de transport électrique par le graphe orienté suivant.

Étape 2 – On établit l’expression mathématique des trois contraintes.

1. L’intensité totale qui sort d’une source est limitée par la puissance maximale distribuée par cette source :

   donc  = 50 A

   donc  = 38,5 A

2. L’intensité totale qui entre dans chaque nœud intermédiaire est égale à l’intensité totale qui en sort.

   I₁ + I₂ = I₃ + I₄
   I₂ = I₃ + I₄ – I₁

3. L’intensité qui arrive à chaque cible est imposée par la puissance qui y est utilisée. On obtient :

   I₃ = I₄ =  = 26,1 A

Étape 3 – Il faut ensuite exprimer la puissance totale dissipée pendant le transport par effet joule P_effet Joule, en fonction de l’intensité de l’une des sources. On prend I₁.

P_effet Joule = P_{effet Joule 1} + P_{effet Joule 2} + P_{effet Joule 3} + P_{effet Joule 4}
P_effet Joule = R₁ × I₁² + R₂ × I₂² + R₃ × I₃² + R₄ × I₄²
P_effet Joule = 0,8 × I₁² + 0,6 × I₂² + 1 × 26,1² + 1 × 26,1²
P_effet Joule = 0,8 × I₁² + 0,6 × I₂² + 1362
or, I₂ = I₃ + I₄ – I₁ = 26,1 + 26,1 – I₁ = 52,2 – I₁

On obtient :

P_effet Joule = 0,8 × I₁² + 0,6 × (52,2 – I₁)² + 1362

P_effet Joule = 0,8 × I₁² + 0,6 × (52,2² – 2 × 52,2 × I₁ + I₁²) + 1362
P_effet Joule = 0,8 I₁² + 1635 – 62,6 × I₁ + 0,6 I₁² + 1362
P_effet Joule = 1,4 I₁² – 62,6 I₁ + 2997

On obtient une fonction polynôme du second degré, du type :
f(x) = ax² + bx + c, qui comporte un minimum (car a = 1,4 est un nombre positif).

Étape 4 – On peut déterminer le minimum en rentrant la fonction dans une calculatrice ou un logiciel.

La courbe représentative de la fonction obtenue est une parabole du type :

Courbe représentative de P_effet Joule en fonction de I₁

On trouve graphiquement que P_effet Joule atteint son minimum pour I₁ = 22,3 A.

Les pertes par effet Joule de ce réseau peuvent être minimisées en utilisant cette valeur d’intensité I₁ = 22,3 A.