L'optimisation du transport de l'électricité - Maxicours

L'optimisation du transport de l'électricité

Objectifs
  • Identifier l’influence sur l’effet Joule de la puissance, de la résistance, de l’intensité et de la tension.
  • Modéliser un réseau de distribution électrique simple par un circuit électrique et par un graphe orienté.
  • Formuler le problème de minimisation des pertes par effet Joule et le résoudre pour différentes valeurs numériques.
Points clés
  • Au cours du transport, une partie de l’énergie électrique est dissipée dans l’environnement par effet Joule.
  • On limite les pertes par effet Joule en utilisant la haute tension dans les lignes électriques.
  • Un réseau de transport électrique peut être modélisé mathématiquement par un circuit électrique ou par un graphe orienté.
  • L’objectif est de minimiser les pertes par effet Joule sur l’ensemble du réseau, avec les contraintes suivantes.
    • L’intensité totale est limitée par la puissance maximale distribuée.
    • L’intensité totale qui entre dans chaque nœud est égale à l’intensité totale qui en sort.
    • L’intensité totale qui arrive à chaque cible (utilisation) est imposée par la puissance utilisée.
Pour bien comprendre
  • Notion de graphe
  • Connaissances sur les fonctions

On utilise des lignes électriques pour transporter l’énergie électrique qui est produite par les centrales électriques jusqu’aux usagers, parfois sur de longues distances.

En France métropolitaine, il y a environ cent-mille kilomètres de lignes électriques.

Le réseau de transport électrique est complexe : les problèmes de gestion et d’optimisation du transport, ainsi que de la distribution de l’électricité trouvent leurs solutions par des modèles mathématiques (graphes, fonctions, etc.).

1. Le transport de l'électricité
a. Pertes par effet Joule

Le transport de l’énergie électrique entraine des pertes par effet Joule : les câbles s’échauffent et de l’énergie thermique est dissipée dans l’environnement. Ces pertes représentent un peu plus de 2 % de l’énergie électrique transportée.

Tout dispositif électrique possède une résistance, qui s’oppose au passage du courant électrique.
Ceci se traduit par un échauffement et donc des pertes d’énergie thermique dans l’environnement : c’est l’effet Joule.

Chaque câble électrique possède une résistance, il subit donc des pertes par effet Joule. Ces pertes sont d’autant plus grandes que les câbles sont longs et que l’intensité du courant est élevée.

Bilan de puissance d’un câble électrique (principe de conservation)

La formule suivante établit le lien entre la puissance transportée par le câble, la puissance distribuée et la puissance dissipée par effet Joule.

Ptransportée = Putile + Peffet Joule avec :
  • Ptransportée la puissance transportée par le câble, en watts (W)
  • Putile la puissance distribuée par le câble à l’utilisateur, en watts (W)
  • Peffet Joule la puissance thermique dissipée par effet Joule dans le câble, en watts (W)

On voit que toute la puissance ne parvient pas à l’utilisateur.

La puissance thermique dissipée par effet Joule d’un câble électrique
Puissance électrique
Rappel
La puissance électrique (fournie ou reçue) d’un dispositif électrique est donnée par la formule suivante.
P = U × I avec :
  • P la puissance électrique (fournie ou reçue) d’un dispositif, en watts (W)
  • U la tension aux bornes du dispositif, en volts (V)
  • I l’intensité qui traverse le dispositif, en ampères (A)

La puissance dissipée par effet Joule dans un câble électrique est donc la suivante.

Peffet Joule = Ucâble × I avec :
  • Peffet Joule la puissance thermique dissipée par effet Joule dans un câble, en watts (W)
  • Ucâble la tension aux bornes du câble, en volts (V)
  • I l’intensité qui parcourt le câble, en ampères (A)
Loi d’Ohm

La loi d’ohm appliquée au câble électrique est la suivante.

Ucâble = Rcâble × I avec :
  • Ucâble la tension aux bornes du câble, en volts (V)
  • Rcâble la résistance du câble, en ohms ()
  • I l’intensité qui parcourt le câble, en ampères (A)
Conclusion

On en déduit la relation entre la puissance Peffet Joule, la résistance Rcâble et l’intensité du courant I.

Dans un câble électrique, la puissance thermique dissipée par effet Joule est donnée par la relation suivante.

Peffet Joule = Rcâble × I2 avec :
  • Peffet Joule la puissance thermique dissipée par effet Joule dans un câble, en watts (W)
  • Rcâble la résistance du câble, en ohms ()
  • I l’intensité qui parcourt le câble, en ampères (A)
b. Lignes à haute tension
Intérêt d’une ligne à haute tension
Une ligne à haute tension est un câble électrique qui est utilisé pour le transport de l’électricité.

Lignes à haute tension
La résistance Rcâble est une caractéristique du câble : pour une même longueur de câble, plus le matériau est conducteur, plus sa résistance est faible.

Or, Peffet Joule = Rcâble × I2

Pour diminuer les pertes par effet Joule, donc diminuer la valeur de Peffet Joule, il faut ainsi :

  • soit diminuer la résistance des câbles Rcâble : il s’agit d’utiliser des matériaux qui soient de très bons conducteurs ;
  • soit diminuer la valeur de l’intensité du courant I.
    On a Ptransportée U × I, donc I = , avec U la tension d’alimentation fournie.
    Pour une valeur de puissance Ptransportée fixe transportée par le câble, la valeur de l’intensité I peut être diminuée en augmentant la tension d’alimentation fournie U.
Pour limiter les pertes par effet Joule, l’énergie électrique est transportée dans des lignes à haute tension car ces lignes disposent d’une tension U suffisamment élevée pour diminuer l’intensité I et donc la puissance dissipée par effet Joule Peffet Joule.
Le rôle des transformateurs

Des transformateurs sont installés sur le réseau, afin de modifier la valeur d'une tension : ces dispositifs permettent d’augmenter la tension pour limiter les pertes par effet Joule dans les câbles électriques, puis ils permettent de diminuer la tension pour la rendre utilisable par les usagers.


Transformateur
Remarque
La tension utilisée dans les habitations est de 230 V, celle des lignes à haute tension est d’environ 20 kV et celle des lignes à très haute tension va jusqu’à environ 400 kV.
Exemple

Voici un schéma qui présente un réseau de transport et de distribution électrique via des lignes à haute tension et des lignes à basse tension.


Réseau de transport électrique

Dans ce réseau de transport électrique :

  1. l’électricité est produite par l’éolienne (générateur) ;
  2. un transformateur augmente la tension produite par l’éolienne pour obtenir une haute tension.
  3. cette haute tension est transportée par les lignes à haute tension, en passant par un répartiteur qui va diriger l’électricité à l’échelle régionale ou nationale ;
  4. un autre transformateur diminue la tension, pour la distribuer à l’échelle locale grâce à des lignes à basse tension ;
  5. l’énergie est utilisée par les différents usagers.

Voici un circuit électrique qui permet de modéliser le transport de l’électricité de ce réseau grâce aux lignes électriques.


Modélisation du réseau de transport électrique
par un circuit électrique
2. La modélisation d'un réseau de transport électrique par un graphe orienté
a. Principe

Un réseau de transport électrique peut être modélisé par un graphe orienté, très utile pour résoudre mathématiquement le problème de minimisation des pertes par effet Joule.

La modélisation d’un réseau par un graphe orienté permet de représenter les lignes électriques par des segments orientés dans le sens du courant (ou arcs), et de situer les sources d’énergie, les cibles et les nœuds intermédiaires, aux sommets des arcs.
b. Exemple

On souhaite modéliser un réseau de transport électrique constitué :

  • d’une éolienne et un panneau photovoltaïque, qui sont les deux sources d’énergie électrique ;
  • d’un répartiteur pour ajuster la production en fonction des besoins ;
  • d’une maison et une usine, qui sont les deux cibles utilisatrices de l’électricité ;
  • de quatre câbles électriques pour le transport.

Voici un schéma de ce réseau de transport électrique.


Schéma du réseau de transport électrique
Modélisation par un circuit électrique

Voici une modélisation de ce réseau de transport électrique par un circuit électrique.


Modélisation du réseau de transport électrique
par un circuit électrique
  • Les sources S1 et S2 représentent les générateurs d’énergie électrique (éolienne et panneau photovoltaïque ici).
  • Les cibles C1 et C2 représentent les utilisateurs d’énergie électrique (maison et usine ici).
  • R1, R2, R3 et R4 sont les résistances des câbles électriques.
  • I1, I2, I3 et I4 sont les intensités des courants qui circulent dans les câbles électriques.
  • Le point N au milieu s’appelle le nœud : il représente le répartiteur du circuit.
Modélisation par un graphe orienté

Voici une modélisation du réseau de transport électrique par un graphe orienté.


Modélisation du réseau de transport électrique
par un graphe orienté
  • Les lignes électriques sont représentées par des arcs (segments) orientés dans le sens du courant.
  • Les sources S1 et S2, et les cibles C1 et C2 sont situées aux sommets de ces arcs.
3. Minimiser les pertes par effet Joule sur l'ensemble d'un réseau

L’étude du graphe orienté et la connaissance des contraintes d’un réseau de transport électrique, permettent de minimiser les pertes par effet Joule en résolvant le problème mathématique associé.

a. Rappels sur les lois de l'électricité
  • Puissance dissipée par effet Joule : Peffet Joule R × I2
  • La puissance totale dissipée par effet Joule sur l’ensemble d’un réseau est la somme de toutes les puissances dissipées par effet Joule : Ptotale effet Joule Peffet Joule 1 + Peffet Joule 2 + … + Peffet Joule 5 + …
  • Puissance d’un dispositif : P = U × I
b. Contraintes de répartition des intensités sur le réseau

Un réseau de transport électrique doit respecter trois contraintes pour répartir l’intensité.

Contrainte 1 – L’intensité transmise est limitée car la puissance transmise est limitée.

Chaque source fournit une puissance variable, en fonction des besoins, mais possède une capacité de puissance maximale Pmax.
La tension U est de plus constante à ses bornes.

L’intensité qui en sort est donc variable mais elle est inférieure à l’intensité maximale possible Imax.

L’intensité totale qui sort d’une source est limitée par la puissance maximale distribuée par cette source.
Exemple
Une centrale nucléaire possède une capacité de puissance maximale égale à 500 MW et une tension en sortie égale à 90 kV.

L’intensité maximale Imax qui peut sortir de cette centrale est donc égale à :

Imax =  = 5,6 × 103 A

Contrainte 2 – Il y a conservation de l’intensité (loi des nœuds).
L’intensité totale qui entre dans chaque nœud intermédiaire est égale à l’intensité totale qui en sort.

Si I1 et I2 arrivent à un nœud et que I3 et I4 repartent du nœud, alors :

I1 + I2 = I3 + I4

Exemple
On a bien 40 + 32 = 14 + 58.
Contrainte 3 – L’intensité utilisée dépend de la puissance utilisée.
L’intensité qui arrive à chaque cible est imposée par la puissance qui y est utilisée.

Chaque usager utilise une intensité dont la valeur dépend de son abonnement de puissance électrique. La tension d’utilisation étant constante, l’intensité utilisée possède donc une valeur fixe.

Exemple
Si une maison possède un abonnement pour une puissance de 12 kW et fonctionne sous une tension de 230 V, alors l’intensité utilisée est égale à :

I =  = 52,2 A

c. Résoudre un problème de minimisation des pertes par effet Joule sur un réseau

Minimiser les pertes par effet Joule sur un réseau de transport électrique consiste à réduire la valeur de la puissance dissipée par effet Joule Peffet Joule.

Résoudre un problème de minimisation des pertes par effet Joule consiste donc à modéliser cette puissance dissipée par une fonction, puis à chercher la valeur minimale de cette fonction.
Méthode

Voici la méthode à suivre.

Étape 1 – Modéliser le réseau de transport électrique par un graphe orienté.

Étape 2 – Établir l’expression mathématique des trois contraintes du réseau de transport électrique.

Étape 3 – Établir la fonction qui permet d’exprimer la puissance totale dissipée par effet Joule Peffet Joule pendant le transport, en fonction de l’intensité.

Étape 4 – Déterminer le minimum de la fonction polynôme du second degré obtenue, à partir d’un graphique fourni, ou à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.

Remarque
Les intensités des courants qui arrivent aux cibles sont fixées par les besoins des cibles, il ne s’agit donc pas de variables qu’on peut minimiser.
Seules les intensités issues des sources peuvent être minimisées.
Exemple
Énoncé

On étudie un réseau de transport électrique qui est constitué de deux sources d’énergie électrique (S1 et S2), de quatre câbles, d’un nœud de répartition (N) et de deux cibles utilisatrices (C1 et C2).

  • Source 1 :
    • Puissance maximum délivrée :  = 18 000 W
    • Tension à ses bornes :  = 360 V
  • Source 2 :
    • Puissance maximum délivrée :  = 10 000 W
    • Tension à ses bornes :  = 260 V
  • Résistances des câbles : R1 = 0,8 Ω ; R2 = 0,6 Ω ; R3 = R4 = 1 Ω
  • Les cibles fonctionnent chacune sous une puissance P = 6000 W et sous une tension U = 230 V.
Méthode et résolution

Étape 1 – On modélise le réseau de transport électrique par le graphe orienté suivant.

Étape 2 – On établit l’expression mathématique des trois contraintes.

  1. L’intensité totale qui sort d’une source est limitée par la puissance maximale distribuée par cette source :

    donc

     = 50 A

    donc

     = 38,5 A

  2. L’intensité totale qui entre dans chaque nœud intermédiaire est égale à l’intensité totale qui en sort.

    I1 + I2 = I3 + I4
    I2 = I3 + I4  I1

  3. L’intensité qui arrive à chaque cible est imposée par la puissance qui y est utilisée. On obtient :

    I3 = I4 =  = 26,1 A

Étape 3 – Il faut ensuite exprimer la puissance totale dissipée pendant le transport par effet joule Peffet Joule, en fonction de l’intensité de l’une des sources. On prend I1.

Peffet Joule = Peffet Joule 1 + Peffet Joule 2 + Peffet Joule 3 + Peffet Joule 4
Peffet Joule = R1 × I12 + R2 × I22 + R3 × I32 + R4 × I42
Peffet Joule = 0,8 × I12 + 0,6 × I22 + 1 × 26,12 + 1 × 26,12
Peffet Joule = 0,8 × I12 + 0,6 × I22 + 1362
or, I2 = I3 + I4  I1 = 26,1 + 26,1  I1 = 52,2  I1

On obtient :

Peffet Joule = 0,8 × I12 + 0,6 × (52,2  I1)2 + 1362

Rappel mathématique : (a  b)2 = a2  2ab + b2

Peffet Joule = 0,8 × I12 + 0,6 × (52,22  2 × 52,2 × I1 + I12+ 1362
Peffet Joule = 0,8 I12 + 1635  62,6 × I1 + 0,6 I12 + 1362
Peffet Joule = 1,4 I12  62,6 I1 + 2997

On obtient une fonction polynôme du second degré, du type :
f(x= ax2 + bx + c, qui comporte un minimum (car a = 1,4 est un nombre positif).

Étape 4 – On peut déterminer le minimum en rentrant la fonction dans une calculatrice ou un logiciel.

La courbe représentative de la fonction obtenue est une parabole du type :


Courbe représentative de Peffet Joule en fonction de I1

On trouve graphiquement que Peffet Joule atteint son minimum pour I1 = 22,3 A.

Les pertes par effet Joule de ce réseau peuvent être minimisées en utilisant cette valeur d’intensité I1 = 22,3 A.

Remarques
  • On a exprimé Peffet Joule en fonction de I1, mais on pourrait également exprimer Peffet Joule en fonction de I2.
  • Les exemples étudiés dans ce chapitre sont très simplifiés : l’intensité est par exemple considérée continue, alors qu’en réalité elle est alternative.

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