Champ gravitationnel et champ de pesanteur - Cours de Physique Chimie Première avec Maxicours

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Champ gravitationnel et champ de pesanteur

Objectif(s)
Étudier la gravitation sous forme vectorielle, afin d’introduire la notion de champ de gravitation. Voir que localement, le champ de gravitation d’une planète, dont la Terre, est uniforme et correspond au champ de pesanteur.
1. Loi de la gravitation de Newton en écriture vectorielle
En 1687, Isaac Newton énonce la loi de la gravitation universelle. Le terme d’universelle est employé car la mécanique de Newton « réconcilie » la mécanique terrestre (chute des corps) avec la mécanique céleste (étoiles et planètes) en une seule théorie. Celle-ci indique que deux corps A et B de masses respectives et placés à une distance r subissent une interaction mutuelle par le biais de deux forces :




 est la constante de gravitation, et est un vecteur unitaire (norme égale à 1) utilisée pour donner la direction et le sens des forces. La force de gravitation est toujours attractive.

Remarque
La loi de la gravitation s’applique pour des corps ponctuels, ou pour des corps à symétrie sphérique. Dans ce dernier cas, la masse du corps est exprimée au niveau de son centre de d'inertie. En première approximation, cette hypothèse est validée pour les objets célestes comme les planètes où les étoiles.
2. Champ de gravitation
Un corps de masse M est placé en un point O et est considérée comme immobile. Il créé sur son environnement un champ de gravitation, que nous noterons . Une masse m plongée dans ce champ en un point P va subir une force d’attraction gravitationnelle , comme indiquée par le schéma :


La force subie et le champ sont reliés par la relation :.

Comme une force s’exprime en Newton et une masse en kilogramme, on en déduit que le champ de gravitation est en .

Via la loi de Newton, nous avons  , et ainsi le champ s’écrit :
.

Le champ de gravitation ne dépend pas de la masse m qui subit ce champ, mais de la masse M qui le créé. On peut voir qu’une unité équivalente de est le .

Graphiquement, est radial et centripète. Son intensité décroît avec le carré de la distance r par rapport au corps de masse M créant ce champ.


 

3. Champ de pesanteur
a. Définition
La Terre exerce une force sur les corps se trouvant à sa surface ou dans son proche environnement. Cette force est le poids .
Pour un corps de masse m :   ou  en écriture vectorielle.

Le vecteurcorrespond au champ de pesanteur exercé par la Terre. Sa direction est verticale. Pour être plus précis, il définit la verticale. Son sens est « vers le bas », c'est-à-dire vers le sol. Sa norme est l’intensité de pesanteur, autrement appelée accélération de pesanteur.

Le poids P d’un corps est constant dans une région donnée de l’espace.
Pour le vérifier expérimentalement, il suffit d’accrocher une masse à un ressort et à mesurer à divers endroits son écartement dû au poids de la masse suspendue.

On vient de fabriquer un gravimètre. Cet écartement est constant, on en déduit que le champ de pesanteur est uniforme localement.


b. Lien entre le champ de pesanteur et le champ de gravitation
Les lignes de champ associées au champ de gravitation terrestre sont radiales et se rejoignent vers le centre de la Terre. Mais, au niveau de la surface terrestre, elles semblent parallèles sur des échelles de quelques kilomètres, et la norme des vecteurs du champ semble quasi constante.

Localement, le champ de gravitationpeut être vu comme un champ uniforme, c'est-à-dire le champ de pesanteur local.
Le champ de pesanteur est une approximation locale du champ de gravitation au niveau de la surface terrestre.



Cela implique que localement,  donc que .
À la surface de la Terre,  s’écrit : .

  est le rayon de la Terre et  sa masse.

On identifie l’intensité de pesanteur g comme : .
Remarque
Le champ de gravitation est établi exclusivement par la loi de la gravitation universelle.
Le champ de pesanteur est un champ que l’on peut le mesurer directement via notre gravimètre. Il inclut bien entendu la gravitation, mais aussi le fait que la Terre tourne sur elle-même, ce qui entraîne l’apparition d’une pseudo-force centrifuge, comme celle que l’on ressent dans une voiture prenant un virage à grande vitesse (on est « attiré » vers l’extérieur du virage).
Une conséquence de cela est que la verticale en un lieu, définie par le gravimètre ou un fils à plomb, n’est pas exactement dirigée vers le centre de la Terre. Ainsi, les champs de gravitation et de pesanteur présentent localement des lignes de champ très similaires, mais qui ne sont pas strictement confondues en toute rigueur.
4. Variations du champ de pesanteur
a. En fonction de l'altitude
La relation trouvée suppose que nous soyons au niveau de la surface terrestre, donc à altitude nulle. On la note quelquefois . Quand on s’élève d’une altitude h, la valeur de g évolue, et se note .

Pour assurer l’égalité , on fait :  d'où .

Après, on écrit :  et finalement : .

Pour .

Autrement dit, à 100 km d’altitude, l’intensité de pesanteur n’a chuté que de 3 %. Pour des altitudes de quelques kilomètres, la variation de g est négligeable.
b. Autres variations
Du fait de la rotation de la Terre sur elle-même, nous avons vu plus haut que la pseudo-force centrifuge agit sur le champ de pesanteur mesuré. Cet effet est maximal à l’équateur et nul aux pôles.
Une autre conséquence de ladite rotation est que la Terre n’est pas une sphère parfaite et est aplatie aux pôles. Le rayon de la Terre au niveau de l’équateur et des pôles diffère de quelques dizaines de kilomètres.
Cela a pour effet que l’intensité de la pesanteur à la surface terrestre dépend de la latitude.

  (N/kg) Latitude
Pôle Nord 9,83 90° N
Paris 9,81 49° N
Équateur 9,78

Après, rappelons-nous que la matière crée la gravitation. Comme le globe n’est pas parfaitement lisse, l’intensité de la pesanteur présente de légères fluctuations selon le relief ou la géologie de la région étudiée.
D’autre part, il a été observé des variations du champ de pesanteur en fonction du temps, explicables par les mouvements de la matière dans les profondeurs de la Terre.

Ces deux types de fluctuations sont nommées anomalies du champ gravitationnel
.
L'essentiel
Une masse M placée en un point O de l’espace crée un champ de gravitation .

En un point P, à une distance r, ce champ s’écrit : .

 est la constante de gravitation. est un vecteur unitaire dirigé de O vers P. Le champ de gravitation est radial, centripète, et s’exprime en N / kg. L’expression du champ est valable pour des corps ponctuels ou présentant une symétrie sphérique (étoiles et planètes).

Un corps de masse m plongé dans ce champ subit une force d’attraction gravitationnelle .

Le champ de gravitation terrestre ressenti à sa surface est assimilable localement au champ de pesanteur.
Sa norme est nommée intensité de pesanteur.
La force d’attraction gravitationnelle se confond alors avec le poids .
Le champ de pesanteur est considéré localement comme uniforme, même s’il varie légèrement avec l’altitude ou la latitude du lieu de mesure.

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