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Champ gravitationnel et champ de pesanteur
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1
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Objectif(s)
Étudier la gravitation sous forme vectorielle, afin
d’introduire la notion de champ de gravitation. Voir
que localement, le champ de gravitation d’une
planète, dont la Terre, est uniforme et correspond au
champ de pesanteur.
1. Loi de la gravitation de Newton en écriture
vectorielle
En 1687, Isaac Newton énonce la loi de la
gravitation universelle. Le terme d’universelle
est employé car la mécanique de Newton
« réconcilie » la mécanique
terrestre (chute des corps) avec la mécanique
céleste (étoiles et planètes) en une
seule théorie. Celle-ci indique que deux corps
A et B de masses respectives 
et
placés à une distance r subissent
une interaction mutuelle par le biais de deux forces :
est la constante de
gravitation, et 
est un vecteur unitaire
(norme égale à 1) utilisée pour donner
la direction et le sens des forces. La force de gravitation
est toujours attractive.
et
placés à une distance r subissent
une interaction mutuelle par le biais de deux forces :
est la constante de
gravitation, et est un vecteur unitaire
(norme égale à 1) utilisée pour donner
la direction et le sens des forces. La force de gravitation
est toujours attractive.
Remarque
La loi de la gravitation s’applique pour des corps ponctuels, ou pour des corps à symétrie sphérique. Dans ce dernier cas, la masse du corps est exprimée au niveau de son centre de d'inertie. En première approximation, cette hypothèse est validée pour les objets célestes comme les planètes où les étoiles.
La loi de la gravitation s’applique pour des corps ponctuels, ou pour des corps à symétrie sphérique. Dans ce dernier cas, la masse du corps est exprimée au niveau de son centre de d'inertie. En première approximation, cette hypothèse est validée pour les objets célestes comme les planètes où les étoiles.
2. Champ de gravitation
Un corps de masse M est placé en un point
O et est considérée comme immobile. Il
créé sur son environnement un champ de
gravitation, que nous noterons 
. Une masse m
plongée dans ce champ en un point P va subir
une force d’attraction gravitationnelle 
, comme indiquée par
le schéma :
La force
subie et le champ
sont reliés par la
relation :
.
Comme une force s’exprime en Newton et une masse en kilogramme, on en déduit que le champ de gravitation est en
.
Le champ de gravitation ne dépend pas de la masse m qui subit ce champ, mais de la masse M qui le créé. On peut voir qu’une unité équivalente de
est le 
.
Graphiquement,
est radial et
centripète. Son intensité
décroît avec le carré de la distance
r par rapport au corps de masse M
créant ce champ.
. Une masse m
plongée dans ce champ en un point P va subir
une force d’attraction gravitationnelle , comme indiquée par
le schéma :
La force
subie et le champ
sont reliés par la
relation :.Comme une force s’exprime en Newton et une masse en kilogramme, on en déduit que le champ de gravitation est en
.
Via la loi de Newton, nous avons 
, et ainsi le champ s’écrit :
.
, et ainsi le champ s’écrit :.
Le champ de gravitation ne dépend pas de la masse m qui subit ce champ, mais de la masse M qui le créé. On peut voir qu’une unité équivalente de
est le .Graphiquement,
est radial et
centripète. Son intensité
décroît avec le carré de la distance
r par rapport au corps de masse M
créant ce champ.
3. Champ de pesanteur
a. Définition
La Terre exerce une force sur les corps se trouvant
à sa surface ou dans son proche environnement.
Cette force est le poids 
.
Le vecteur
correspond au champ de pesanteur
exercé par la Terre. Sa direction est verticale.
Pour être plus précis, il définit la
verticale. Son sens est « vers le bas »,
c'est-à-dire vers le sol. Sa norme 
est l’intensité
de pesanteur, autrement appelée
accélération de pesanteur.
On vient de fabriquer un gravimètre. Cet écartement est constant, on en déduit que le champ de pesanteur
est uniforme
localement.
.
Pour un corps de masse m : 
ou 
en écriture
vectorielle.
ou en écriture
vectorielle.
Le vecteur
correspond au champ de pesanteur
exercé par la Terre. Sa direction est verticale.
Pour être plus précis, il définit la
verticale. Son sens est « vers le bas »,
c'est-à-dire vers le sol. Sa norme est l’intensité
de pesanteur, autrement appelée
accélération de pesanteur.
Le poids P d’un corps est
constant dans une région
donnée de l’espace.
Pour le vérifier expérimentalement,
il suffit d’accrocher une masse à un ressort
et à mesurer à divers endroits son
écartement dû au poids de la masse
suspendue.On vient de fabriquer un gravimètre. Cet écartement est constant, on en déduit que le champ de pesanteur
est uniforme
localement.
b. Lien entre le champ de pesanteur et le champ de
gravitation
Les lignes de champ associées au champ de
gravitation terrestre 
sont radiales et se rejoignent vers le centre de
la Terre. Mais, au niveau de la surface terrestre,
elles semblent parallèles sur des
échelles de quelques kilomètres, et la
norme des vecteurs du champ semble quasi constante.
Localement, le champ de gravitation
peut être vu comme un champ uniforme,
c'est-à-dire le champ de pesanteur
local
.
Cela implique que localement,
donc que 
.
sont radiales et se rejoignent vers le centre de
la Terre. Mais, au niveau de la surface terrestre,
elles semblent parallèles sur des
échelles de quelques kilomètres, et la
norme des vecteurs du champ semble quasi constante.Localement, le champ de gravitation
peut être vu comme un champ uniforme,
c'est-à-dire le champ de pesanteur
local.
Le champ de pesanteur est une approximation
locale du champ de gravitation au niveau de la
surface terrestre.
Cela implique que localement,
donc que .
À la surface de la Terre, 
s’écrit : 
.
est le rayon de la
Terre et 
sa masse.
On identifie l’intensité de pesanteur g comme :
.
s’écrit : . est le rayon de la
Terre et sa masse.On identifie l’intensité de pesanteur g comme :
.
Remarque
Le champ de gravitation est établi exclusivement par la loi de la gravitation universelle.
Le champ de pesanteur est un champ que l’on peut le mesurer directement via notre gravimètre. Il inclut bien entendu la gravitation, mais aussi le fait que la Terre tourne sur elle-même, ce qui entraîne l’apparition d’une pseudo-force centrifuge, comme celle que l’on ressent dans une voiture prenant un virage à grande vitesse (on est « attiré » vers l’extérieur du virage).
Une conséquence de cela est que la verticale en un lieu, définie par le gravimètre ou un fils à plomb, n’est pas exactement dirigée vers le centre de la Terre. Ainsi, les champs de gravitation et de pesanteur présentent localement des lignes de champ très similaires, mais qui ne sont pas strictement confondues en toute rigueur.
Le champ de gravitation est établi exclusivement par la loi de la gravitation universelle.
Le champ de pesanteur est un champ que l’on peut le mesurer directement via notre gravimètre. Il inclut bien entendu la gravitation, mais aussi le fait que la Terre tourne sur elle-même, ce qui entraîne l’apparition d’une pseudo-force centrifuge, comme celle que l’on ressent dans une voiture prenant un virage à grande vitesse (on est « attiré » vers l’extérieur du virage).
Une conséquence de cela est que la verticale en un lieu, définie par le gravimètre ou un fils à plomb, n’est pas exactement dirigée vers le centre de la Terre. Ainsi, les champs de gravitation et de pesanteur présentent localement des lignes de champ très similaires, mais qui ne sont pas strictement confondues en toute rigueur.
4. Variations du champ de pesanteur
a. En fonction de l'altitude
La relation trouvée suppose que nous soyons au
niveau de la surface terrestre, donc à altitude
nulle. On la note quelquefois 
. Quand on
s’élève d’une altitude
h, la valeur de g évolue, et se note
.
Pour assurer l’égalité
, on fait : 
d'où 
.
Après, on écrit :
et finalement : 
.
Pour
, 
.
Autrement dit, à 100 km d’altitude, l’intensité de pesanteur n’a chuté que de 3 %. Pour des altitudes de quelques kilomètres, la variation de g est négligeable.
. Quand on
s’élève d’une altitude
h, la valeur de g évolue, et se note
.Pour assurer l’égalité
, on fait : d'où .Après, on écrit :
et finalement : .Pour
, .Autrement dit, à 100 km d’altitude, l’intensité de pesanteur n’a chuté que de 3 %. Pour des altitudes de quelques kilomètres, la variation de g est négligeable.
b. Autres variations
Du fait de la rotation de la Terre sur elle-même,
nous avons vu plus haut que la pseudo-force centrifuge
agit sur le champ de pesanteur mesuré. Cet effet
est maximal à l’équateur et nul aux
pôles.
Une autre conséquence de ladite rotation est que la Terre n’est pas une sphère parfaite et est aplatie aux pôles. Le rayon de la Terre au niveau de l’équateur et des pôles diffère de quelques dizaines de kilomètres.
Cela a pour effet que l’intensité de la pesanteur à la surface terrestre
dépend de la
latitude.
Après, rappelons-nous que la matière crée la gravitation. Comme le globe n’est pas parfaitement lisse, l’intensité de la pesanteur présente de légères fluctuations selon le relief ou la géologie de la région étudiée.
D’autre part, il a été observé des variations du champ de pesanteur en fonction du temps, explicables par les mouvements de la matière dans les profondeurs de la Terre.
Ces deux types de fluctuations sont nommées anomalies du champ gravitationnel.
Une autre conséquence de ladite rotation est que la Terre n’est pas une sphère parfaite et est aplatie aux pôles. Le rayon de la Terre au niveau de l’équateur et des pôles diffère de quelques dizaines de kilomètres.
Cela a pour effet que l’intensité de la pesanteur à la surface terrestre
dépend de la
latitude.
 (N/kg)
|
Latitude | |
| Pôle Nord | 9,83 | 90° N |
| Paris | 9,81 | 49° N |
| Équateur | 9,78 | 0° |
Après, rappelons-nous que la matière crée la gravitation. Comme le globe n’est pas parfaitement lisse, l’intensité de la pesanteur présente de légères fluctuations selon le relief ou la géologie de la région étudiée.
D’autre part, il a été observé des variations du champ de pesanteur en fonction du temps, explicables par les mouvements de la matière dans les profondeurs de la Terre.
Ces deux types de fluctuations sont nommées anomalies du champ gravitationnel.
L'essentiel
Une masse M placée en un point O de
l’espace crée un champ de
gravitation 
.
En un point P, à une distance r, ce champ s’écrit :
.
est la constante de
gravitation. 
est un vecteur unitaire
dirigé de O vers P. Le champ de
gravitation est radial, centripète, et
s’exprime en N / kg. L’expression du champ est
valable pour des corps ponctuels ou présentant
une symétrie sphérique (étoiles
et planètes).
Un corps de masse m plongé dans ce champ subit une force d’attraction gravitationnelle
.
Le champ de gravitation terrestre
ressenti à sa surface est assimilable localement au
champ de pesanteur
.
Sa norme
est nommée
intensité de pesanteur.
La force d’attraction gravitationnelle
se
confond alors avec le poids 
.
Le champ de pesanteur est considéré localement comme uniforme, même s’il varie légèrement avec l’altitude ou la latitude du lieu de mesure.
.En un point P, à une distance r, ce champ s’écrit :
. est la constante de
gravitation. est un vecteur unitaire
dirigé de O vers P. Le champ de
gravitation est radial, centripète, et
s’exprime en N / kg. L’expression du champ est
valable pour des corps ponctuels ou présentant
une symétrie sphérique (étoiles
et planètes).Un corps de masse m plongé dans ce champ subit une force d’attraction gravitationnelle
.Le champ de gravitation terrestre
ressenti à sa surface est assimilable localement au
champ de pesanteur.Sa norme
est nommée
intensité de pesanteur.La force d’attraction gravitationnelle
se
confond alors avec le poids .Le champ de pesanteur est considéré localement comme uniforme, même s’il varie légèrement avec l’altitude ou la latitude du lieu de mesure.
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