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La modélisation des réseaux sociaux

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Objectifs

Modéliser les réseaux sociaux par des graphes.
Connaitre le paradoxe de Milgram.

Points clés

Les graphes servent à visualiser les liens entre utilisateurs d’un même réseau social.
Un graphe peut être orienté ou non orienté, il possède plusieurs caractéristiques (longueur, distance, diamètre, centre et rayon).
Le phénomène du petit monde, ou paradoxe de Milgram, consiste à dire que chaque individu est relié à n’importe quel autre individu par une courte chaine de relations sociales.

Pour bien comprendre

Les différents réseaux sociaux

1. Le graphe pour modéliser les liens d'un réseau social

Pour visualiser les liens entre utilisateurs d’un même réseau social, on utilise des algorithmes qui agissent sur les bases de données. On arrive alors à élaborer des schémas, appelés graphes.

a. Les différents types de graphes

On distingue deux types de graphes : non orienté et orienté.

Graphe non orienté

Un graphe non orienté est un couple formé d’un ensemble de sommets (utilisateurs) et d’un ensemble d’arêtes (liens entre les utilisateurs). Chaque arête crée une paire de sommets.

Le graphe non orienté ne prend pas en compte le sens des relations entre les sommets, les arêtes ne sont donc pas des flèches (à la différence des graphes orientés).

Exemple
Dans le graphe non orienté ci-dessous, l’utilisateur n° 2 est lié aux utilisateurs n° 1, n° 3 et n° 4.

Exemple de graphe non orienté

Graphe orienté

Tout comme le graphe non orienté, un graphe orienté est un couple formé d’ensembles de sommets et d’arêtes. Chaque arête est cependant associée à un couple de sommets selon une direction, représentée par une flèche et qui illustre le sens des relations.

Exemple
Dans le graphe orienté ci-dessous, l’utilisateur n° 3 est lié aux utilisateurs n° 1 et n° 2. L’utilisateur n° 1 est en effet relié (à sens unique) à l’utilisateur n° 3 et l’utilisateur n° 3 est relié (à sens unique) à l’utilisateur n° 2.

Exemple de graphe orienté

b. Les caractéristiques d'un graphe

Dans un graphe, une chaine est une suite de sommets reliés par des arêtes.

Exemple
Dans le graphe orienté de l’exemple précédent, la chaine est 1 – 3 – 2.

Un graphe possède les caractéristiques suivantes :

la longueur d’une chaine est égale au nombre d’arêtes qui relient les sommets de cette chaine ;
la distance entre deux sommets est égale à la longueur de la plus petite chaine qui les relie ;
le diamètre entre deux sommets est égal à la longueur de la plus grande chaine qui les relie ;
le centre d’un graphe est le sommet qui a la longueur la plus petite avec les autres sommets ;
le rayon d’un graphe est égal à la plus petite longueur qui permet de relier le centre à tous les autres sommets.

Les caractéristiques d’un graphe

Exemple
Voici un exemple de graphe.

La distance entre Ⓐ et Ⓕ est égale à 2 car le nombre minimum d’arêtes pour aller de Ⓐ à Ⓕ est de 2 (on passe de Ⓐ à Ⓓ puis de Ⓓ à Ⓕ).
L’une des longueurs possibles entre Ⓐ et Ⓕ passe par Ⓒ et Ⓔ. Elle est égale à 3.
Le diamètre est égal à 2 car la distance maximale entre deux sommets est de 2.
Le centre du graphe est le sommet Ⓓ car il a la plus petite distance avec les autres sommets.
Le rayon du graphe est égal à 1 car il correspond à la plus petite longueur entre le centre Ⓓ et tous les autres sommets.

2. La représentation informatique d'un graphe

Avec un ordinateur, on manipule les graphes en choisissant une représentation graphique spécifique appelée « matrice d’adjacence » ou tableau.

Cette matrice est un tableau à double entrée, dans lequel une case est cochée s’il y a une arête entre les sommets. On utilise en mathématiques une représentation simple, c’est-à-dire une matrice remplie de 0 (si aucune arête) et de 1 (si on rencontre une arête).

Exemple
Voici un exemple de représentation graphique d’une matrice d’adjacence.

La première ligne est associée à la position Ⓐ : Ⓐ n’étant pas relié à Ⓐ, on a un 0, puis on a trois 1 puisque la position Ⓐ est directement liée aux positions Ⓑ, Ⓒ et Ⓓ.

Méthode

Pour établir la matrice à partir du graphe, il suffit de raisonner de la manière suivante.

Première ligne du tableau
- On se place en position Ⓐ sur le graphe : il correspond à un 0, Ⓐ n’étant pas relié à Ⓐ.
- On regarde quel est le plus proche voisin de Ⓐ : on s’aperçoit qu’il s'agit des sommets Ⓑ, Ⓒ et Ⓓ, donc on place un 1 à chacune de ces places dans le tableau.
Deuxième ligne du tableau
- On réitère l’opération en se plaçant au point Ⓑ, qui est relié aux points Ⓐ, Ⓓ et Ⓒ. On place à nouveau un 1 dans la matrice à la bonne place.
etc.

Remarque
Si un sommet n’a pas de relation directe avec un autre sommet, on devra mettre un 0 dans le tableau.

3. Le phénomène du petit monde ou paradoxe de Milgram

Les réseaux sociaux sont des plateformes qui permettent de relier des individus.

Le phénomène du petit monde, ou « paradoxe de Milgram », consiste à dire que chaque individu est relié à n’importe quel autre individu par une courte chaine de relations sociales.

Ce concept vient du psychosociologue Stanley Milgram (États-Unis), qui a proposé le concept de « six degrés de séparation » après avoir mené une expérience sociale en 1967. Il suggère que deux individus, choisis au hasard parmi les citoyens américains, sont reliés par une chaine de six relations en moyenne.

Cette distance de 6 s’est depuis raccourcie car il est de plus en plus facile de nouer des liens sur les réseaux sociaux.

Exemple
Sur Facebook, le diamètre du graphe est de 3,5. Cela signifie qu’en moyenne 3,5 personnes sépareraient deux abonnés choisis au hasard.