Mathématiques appliquées

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Cours / Mathématiques appliquées / BEP Métiers de l'électrotechnique
Simplification de l'expression logique à l'aide des règles de l'algèbre booléenne  
  • 1. Rappel sur les règles de l'algèbre...
  • 2. Lois de De Morgan
  • 3. Lois de l'absorption et de...
  • 4. Simplification algébrique
  • 5. Résumé sur la vérification...

L'étude sur l'écriture de l'expression d'une fonction logique combinatoire, vous permet d'apprendre à écrire l'expression d'une fonction logique à partir de sa table de vérité.

Cette écriture peut être sous deux formes : la forme "somme de produits" et la forme "produit de sommes".

Cependant, pour les réalisations pratiques, il faut penser à simplifier ces expressions pour réduire le coût du matériel et le temps de câblage. La première technique de simplification que vous allez aborder dans cette étude est la simplification à l'aide des règles de l'algèbre booléenne.

Après avoir effectué un rappel sur les règles de base de l'algèbre booléenne présentées dans l'étude sur la logique booléenne, vous apprendrez deux nouvelles lois. Ce sont les lois de De Morgan et les lois de l'absorption et de l'adjacence logiques. Elles sont très utiles pour la simplification algébrique. Vous maîtriserez ensuite la simplification algébrique à l'aide de plusieurs exemples.

1. Rappel sur les règles de l'algèbre booléenne

L'étude sur la logique booléenne, vous permet d'apprendre que l'algèbre booléenne dispose d'un ensemble de règles de base. Ces règles sont :

  • les postulats,
  • les théorèmes pour une seule variable,
  • les lois pour plusieurs variables.

D'ailleurs, vous avez vérifié certains théorèmes pour une seule variable dans les exercices pratiques de l'étude sur la logique booléenne. Cet ensemble de règles de base est très utile dans la simplification algébrique. C'est pour cette raison que l'ensemble de ces règles est repris sous la forme du tableau récapitulatif de la figure suivante.

Tableau récapitulatif des postulats, théorèmes et lois de l'algèbre booléenne :

Postulats
(2) 0 + 0 = 1 (7) 0 · 0 = 0
(3) 0 + 1 = 1 (8) 0 · 1 = 0
(4) 1 + 0 = 1 (9) 1 · 0 = 0
(5) 1 + 1 = 1 (10) 1 · 1 = 1
Théorèmes pour une seule variable
(11) a + 1 = 1 (15) a · 1 = a
(12) a + 0 = a (16) a · 0 = 0
(13) a + a = a (17) a · a = a
Lois pour plusieurs variables
Loi de commutativité (ou loi d'échange)
(20) a + b = b + a (21) a · b = b · a
Loi d'associativité (ou loi de liaison)
(22) a + (b + c) = (a + b) + c (23) a · (b · c) = (a · b) · c
Loi de distributivité (ou loi de répartition)
(24) (a + b) · (b + c) = (a · b) + (a · c) + (b · b) + (b · c) (25) a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

 

2. Lois de De Morgan

Les lois de De Morgan sont des règles qui définissent la négation d'une somme logique et la négation d'un produit logique telles que les montre le tableau de la figure suivante.

Lois de Morgan

La loi (26) stipule que la négation d'une addition logique de deux variables booléennes a et b peut être transformée en un produit de la négation de chacune des variables.

La loi (27) stipule que la négation d'un produit logique de deux variables a et b est équivalent à la somme logique de la négation des deux variables.

Ces deux lois sont applicables pour plus que deux variables.

En effet, pour trois variables, la loi (26) s'écrit : .

De même pour trois variables a, b et c, la loi (27) s'écrit : .

3. Lois de l'absorption et de l'adjacence logiques

Le tableau de la figure suivante résume les lois d'absorption et de l'adjacence logiques.

La loi (28) stipule que si dans une expression, une variable est additionnée à un produit où elle y est présente, l'expression totale est réduite à cette variable. En d'autres mots, la sortie ne dépendra que de cette variable.

Lois de l'absorption et de l'adjacence logiques :

Lois d'absorption logique
(28) a + a · b = a (29) a · (a + b) = a
Lois d'adjacence logique

De même, si une variable est multipliée par une addition où elle y est présente, la loi (29) stipule que la sortie d'une telle expression ne dépendra que de cette variable.

Les règles de l'adjacence et de l'absorption logiques permettent une simplification des expressions où une variable est présente ainsi que sa négation.

La loi (30) concerne une expression de la forme de la somme de deux produits. Le premier produit est a • b, alors que le deuxième est . La variable b est alors éliminée et l'expression est réduite à la variable a.

Dans la loi (31), on a une forme d'un produit de deux sommes. Dans la première somme, la variable a est additionnée à la variable b. Dans la deuxième somme, la même variable a est additionnée à . La variable b est éliminée et l'expression est réduite à a.

4. Simplification algébrique

Vous avez assimilé les règles de De Morgan et les règles de l'absorption et de l'adjacence logiques.

Vous verrez l'utilisation de ces règles pour la simplification algébrique des expressions des fonctions logiques. Il faut garder à l'esprit que le but de cette simplification est de réduire les coûts en matériel et en temps de câblage des circuits logiques combinatoires.

Simplification algébrique. Exemple 1 :

Soit la fonction logique F à deux variables booléennes a et b et dont la table de vérité est donnée par le tableau de la figure suivante.

Table de vérité de l'exemple 1 :

a
b
F
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 0

L'expression de la fonction F peut s'écrire

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