Mathématiques appliquées

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Trigonométrie appliquée aux triangles quelconques  

 Trigonométrie appliquée aux triangles quelconques

En mécanique industrielle, il n'est pas toujours possible de résoudre des problèmes de trigonométrie à l'aide de triangles rectangles.

Les problèmes rencontrés impliquent parfois des triangles quelconques.

Dans cette étude, vous verrez comment résoudre ce type de problèmes.

Vous venez de voir que, pour résoudre des problèmes concernant des triangles rectangles, il faut recourir aux fonctions trigonométriques de base.

Les calculs se rapportant aux triangles quelconques s'effectuent à l'aide de deux lois :

- la loi des sinus ;

- la loi des cosinus.

Loi des sinus

La loi des sinus établit que le rapport entre la mesure du côté opposé à un angle et le sinus de cet angle est équivalent pour tous les angles d'un triangle quelconque (figure 4.32).

Figure 4.32  Loi des sinus.

Si l'on se reporte au triangle de la figure 4.32, on peut énoncer la loi des sinus comme suit :

 

La loi des sinus s'applique dans deux cas particuliers :

  • lorsque l'on connaît la valeur de deux angles et un côté d'un triangle quelconque ;
  • lorsque l'on connaît la valeur de deux côtés d'un triangle et de l'angle opposé à l'un deux.

 

Loi des sinus: application 1

L'exemple suivant montre comment appliquer la loi des sinus.

Problème 1:

A partir du triangle de la figure 4.33, trouvez :

a) la valeur du côté a ;

b) la valeur de l'angle B ;

c) la valeur du côté b.

Figure 4.33  Triangle 16.

1. Identification des données

Nous connaissons la valeur de deux angles et d'un côté du triangle :

  • angle A = 37°
  • côté c = 30 cm
  • angle C = 50°

Il s'agit donc du premier cas d'application de la loi des sinus.

2. Calcul de la valeur du côté a

La loi des sinus nous permet d'établir la relation suivante :

 =

Isolons le côté a :

a =

a =

a =

a = 23,569 cm

3. Calcul de la valeur de l'angle B

Comme nous connaissons la valeur de deux des angles du triangle, il est possible de trouver la valeur du troisième :

angle B = 180° - (angle C + angle A)

angle B = 180° - (50° + 37°)

angle B = 93 °

4. Calcul de la valeur du côté b

De la loi des sinus, nous tirons la relation suivante :

 =

Isolons le côté b :

b =

b =

b =

b = 39,11 cm

Nous avons calculé toutes les valeurs manquantes du triangle de la figure 4.33 :

- côté a = 23,569 cm

- angle B = 93°

- côté b = 39,11 cm

 

Loi des sinus: application 2

L' exemple suivant montre comment appliquer la loi des sinus.

Problème 2:

A partir du triangle de la figure 4.34, trouvez la valeur :

a) de l'angle B ;

b) de l'angle A ;

c) du côté a.

Figure 4.34  Triangle 17.

1. Identification des données

Il s'agit ici du deuxième cas d'application de la loi des sinus. En effet, nous connaissons la valeur de deux côtés du triangle et celle de l'angle opposé à l'un deux :

  • côté b = 50 cm
  • côté c = 40 cm
  • angle C = 38°

2. Calcul de la valeur de l'angle B

La loi des sinus nous permet d'établir la relation suivante :

 =

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