Volumes introduction - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Volumes introduction

Le volume représente l'espace qu'occupe un objet à trois dimensions.

La formule générale permettant de calculer le volume d'un prisme quelconque est la suivante :

volume = aire de la base hauteur.

Il existe toutefois des formules plus détaillées pour calculer le volume de différents prismes.

Dans cette étude, vous reverrez les formules de calcul du volume des principales figures géométriques à trois dimensions.

1. Volume des cubes

Le volume d'un cube s'obtient en appliquant la formule générale de calcul du volume (figure suivante).

Comme les arêtes d'un cube sont de valeur égale, on peut écrire plus simplement que :

Volume cube = a.a.a=a3.

dans laquelle : a = arête du cube.

Volume d'un cube :

Par exemple, si un cube mesure 6 cm d'arête, son volume sera égal à :

 216 cm2 .

2. Volume des parallélépipèdes rectangles

Le volume d'un prisme droit que l'on appelle parallélépipède rectangle (figure suivante) se calcule à l'aide de l'équation suivante :

.

dans laquelle :

L = longueur ;

l = largeur ;

h = hauteur.

Volume du parallépipède rectangle :

A titre d'exemple, calculons le volume du parallépipède de la figure 3.63.

Il suffit d'appliquer la formule de calcul du volume et d'y substituer les valeurs indiquées à la figure ci-dessus.

On obtient :

;

Vparallépipède = 26,04 cm3.

3. Volume des troncs de pyramide

L'équation permettant de calculer le volume d'un tronc de pyramide dont les bases sont parallèles (figure suivante) est la suivante :

.

Volume d'un tronc de pyramide :

dans laquelle :

h = hauteur ;

A1 = aire de la grande base ;

A2 = aire de la petite base.

Voyons, à l'aide d'un exemple, comment appliquer cette formule.

Problème

Calculez le volume du tronc de pyramide de la figure 3.65.

Figure 3.65  Volume d'un tronc de pyramide.

1. Identification des données

Sur la figure 3.65, nous voyons que la hauteur du tronc de pyramide mesure 12 m. Pour pouvoir calculer le volume du tronc de pyramide, il faut d'abord calculer l'aire de sa grande et de sa petite base.

2. Calcul de l'aire de la grande base

Puisque nous connaissons la valeur des côtés de la grande base de la pyramide, il suffit d'appliquer la formule du calcul de l'aire d'un carré :

A1 = c2

A1 = (10 m2)

A1 = 100 m2

3. Calcul de l'aire de la petite base

Pour trouver l'aire de la petite base du tronc de pyramide, on procède de la même manière qu'à l'étape précédente :

A1 = c2

A1 = (6 m2)

A1 = 36 m2

4. Calcul du volume

Nous possédons maintenant toutes les données nécessaires à l'application de la formule de calcul du volume du tronc de pyramide :

Vtronc de pyramide =

Vtronc de pyramide =

Vtronc de pyramide =

Vtronc de pyramide = 4 m (136 m2 + 60 m2)

Vtronc de pyramide = 784 m3

Le volume du tronc de pyramide mesure 784 m3.

 

4. Volume des cylindres
Le volume d'un cylindre est égal au produit de l'aire de sa base et de sa hauteur (figure suivante).

Puisque la base d'un cylindre est formée d'un cercle, on peut calculer son volume en faisant appel à la formule de calcul de l'aire d'un cercle. Ainsi, le volume d'un cylindre, droit ou oblique, correspond à l'équation suivante :

Vcylindre droit = π.r2.h.

dans laquelle :

π= 3,1416 ;

r = rayon de la base ;

h = hauteur.

Dans le cas d'un cylindre oblique, la hauteur est déterminée de la manière indiquée à la figure suivante.

Volume d'un cylindre oblique :

L'exemple suivant illustre la façon de calculer le volume d'un cylindre oblique.

Problème

Calculez le volume du cylindre oblique de la figure 3.68.

Figure 3.68  Cylindre oblique 1.

1. Identification des données

Sur la figure 3.68, on peut voir que la hauteur du cylindre est égale à 6 m tandis que le rayon de sa base mesure 3 m.

2. Calcul du volume

Le volume du cylindre oblique sera égal à :

Vcylindre oblique = π.r2. h

Vcylindre oblique = 3,1416 (3 m)2  6 m

Vcylindre oblique = 3,1416  9 m2  6 m

Vcylindre oblique = 3,1416  54 m3

Vcylindre oblique = 169,646 m3

Le volume du cylindre oblique mesure 169,65 m3.

Le volume intérieur d'un cylindre creux est égal au produit de l'aire du petit cercle et de la longueur du cylindre.

L'équation mathématique permettant de calculer le volume intérieur d'un cylindre creux est la suivante :

Vint. = 0,7854 Ø12 L.

dans laquelle :

Ø1 = diamètre du petit cercle ;

L = longueur du cylindre.

D'autre part, le volume de la paroi du cylindre se calcule en multipliant l'aire de la couronne par la longueur L (figure ci-dessous). On peut donc écrire que :

Vparoi = 0,7854 22 2 Ø12) L.

Volume intérieur et épaisseur de la paroi d'un cylindre creux :

dans laquelle :

Ø2 = diamètre du grand cercle ;

Ø1 = diamètre du petit cercle ;

L = longueur du cylindre.

En résumé sur les volumes :

Le volume d'une figure géométrique représente l'espace à trois dimensions qu'elle occupe.

Les formules permettant de déterminer le volume de quelques solides sont les suivantes :

• Vcube = a3

• 

• Vtronc de pyramide =

• 

• 

- Le volume de la paroi d'un cylindre creux se calcule à l'aide de la formule suivante :

Voilà qui complète l'étude consacré à la géométrie.

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