Système de numérotation hexadécimale - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Système de numérotation hexadécimale

Vous avez appris au cours de l'étude sur le système de numérotation octale que la disposition des nombres binaires en des trios permet une écriture plus abrégée. A chaque trio correspond un chiffre dans le système octal et le nombre des chiffres manipulés est trois fois moindre. Ce raisonnement peut être poussé plus loin. Qu'arrive-t-il si les nombres binaires sont disposés en des lots de quatre bits ? On obtient alors le système de numérotation hexadécimale.

Dans cette étude, vous apprendrez l'origine de la notation hexadécimale ainsi que sa relation avec le système binaire. Vous verrez ensuite les façons de convertir les nombres hexadécimaux en nombres décimaux et vice-versa.

1. Notation hexadécimale

La base de ce système de numérotation est 16. En effet, il est composé de 16 chiffres.

Les dix premiers sont les mêmes que pour le système décimal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9) alors que les six chiffres supplémentaires sont notés à l'aide des lettres suivantes de l'alphabet : A, B, C, D, E et F. Ces lettres ont comme équivalents les nombres décimaux : 10, 11, 12, 13, 14 et 15.

L'origine de ce système de numérotation provient du désir d'abréger les écritures binaires dans le but de faciliter leur manipulation. Le tableau de la figure suivante présente les équivalents décimaux et hexadécimaux des nombres à quatre bits. Vous pouvez voir que les équivalents décimaux de chaque quadruplet sont respectivement présentés dans l'ordre de 0 à 15 et qu'ils sont associés aux chiffres et aux lettres du système hexadécimal.

Les nombres binaires à quatre bits et leurs équivalents décimaux et hexadécimaux :

Cette disposition permet de condenser les groupes de quatre bits en une seule écriture, c'est-à-dire en un seul chiffre du système hexadécimal.

Ce système est, lui aussi, fondé sur la notion de poids de pondération. Au rang 0 correspond le poids 160, au rang 1, c'est le poids 161 et ainsi de suite. De cette manière, le nombre (12)16 est égal à  en décimal.

La figure suivante offre une meilleure visualisation du principe du poids de pondération dans le cas du nombre hexadécimal fractionnaire (13AF,8). On y voit également les poids relatifs de chaque chiffre.

Représentation du nombre hexadécimal fractionnaire (13AF,8) :

2. Conversion du système hexadécimal au système décimal

Comme pour les autres systèmes de numérotation, cette conversion s'obtient par la multiplication de chaque chiffre du nombre hexadécimal par son poids respectif.

Il faut, de plus, garder à l'esprit les équivalents des chiffres hexadécimaux : A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 et F = 15. La figure ci-dessous présente la conversion du nombre hexadécimal (AB4F,C) en nombre décimal.

A l'aide des poids inscrits sous chaque chiffre, l'équivalent décimal est calculé de la manière suivante :

Position 0 : .
- Position 1 : .
Position 2 .
Position 3 : .

Pour la partie fractionnelle, il faut multiplier C par 16-1, soit 12 par 0,0625, ce qui donne 0,75. Tous ces produits partiels sont ensuite sommés pour donner l'équivalent décimal de (AB4F,C)16 = (43855,75)10

Conversion du nombre hexadécimal fractionnaire (AB4F,C) en nombre décimal :

3. Conversion d'un nombre décimal en nombre hexadécimal

La conversion d'un nombre décimal en nombre hexadécimal s'effectue en deux volets.

  • Premièrement, la partie entière du nombre décimal est divisée successivement par 16 jusqu'à ce que le quotient de la division soit 0. Les restes de ces divisions successives sont à chaque étape reportés comme les chiffres du nombre hexadécimal en commençant par le poids le plus faible.
  • Deuxièmement, dans le cas de la partie fractionnelle, la procédure consiste en des multiplications successives par 16. La partie entière de chaque produit partiel est reportée dans le nombre hexadécimal à partir de la virgule hexadécimale alors que la partie fractionnelle est de nouveau multipliée par 16 et ainsi de suite.

Le processus est terminé lorsque le résultat d'un produit est égal à 0. La figure suivante présente la méthode de conversion du nombre décimal 124,25 en nombre hexadécimal.

Conversion du nombre décimal 124,25 en nombre hexadécimal :

4. Conversion d'un nombre binaire en nombre hexadécimal

La conversion d'un nombre binaire en nombre hexadécimal s'effectue selon le principe du regroupement des bits du nombre binaire en des quadruplets. Cette disposition permet un passage rapide du système binaire au système hexadécimal.

Les groupements des bits sont effectués de la droite vers la gauche. Si le dernier groupe a un nombre de chiffres inférieur à quatre, il sera complété par des zéros. La figure suivante présente la conversion d'un nombre binaire en nombre hexadécimal.

Conversion d'un nombre binaire en nombre hexadécimal :

Le nombre binaire (11 1011 1111 1100)2 est composé de 14 bits. A partir de la droite vers la gauche, trois groupements de 4 bits sont possibles : 1100, 1111 et 1011. Les deux bits restants peuvent être complétés par 2 zéros à gauche, ce qui donne 0011. Vous trouverez les équivalents hexadécimaux en vous référant au tableau de la figure suivante.

Les nombres binaires à quatre bits et leurs équivalents décimaux et hexadécimaux :

5. Conversion d'un nombre hexadécimal en nombre binaire

La conversion d'un nombre hexadécimal en nombre binaire s'effectue en écrivant chaque chiffre du nombre hexadécimal sous la forme de son équivalent binaire regroupé sur quatre bits.

A la deuxième figure suivante, le nombre hexadécimal A9B7 est converti en nombre binaire. A l'aide du tableau de la figure suivante après, vous recherchez le nombre binaire correspondant à chaque chiffre. Vous obtenez alors une séquence de 16 bits. Vous comprenez maintenant l'utilité de la représentation hexadécimale. Dans ce cas, au lieu de nécessiter 16 bits, la représentation n'est que de quatre chiffres.

Les nombres binaires à quatre bits et leurs équivalents décimaux et hexadécimaux :

Conversion d'un nombre hexadécimal en nombre binaire :

 

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