Résumé sur la logique combinatoire - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Résumé sur la logique combinatoire

Cette étude contient le résumé de chacune des études de ce guide.

A la suite de cette étude, vous serez en mesure d'évaluer si vous avez bien retenu les points importants.

Si vous ne comprenez pas entièrement certains sujets énoncés, n'hésitez pas à reprendre la lecture de l'étude qui s'y rapporte et à recommencer un ou plusieurs exercices.

Résumé sur les systèmes de numérotation et de codage :

Outre le système de numérotation décimale, il existe trois autres systèmes de numérotations couramment utilisés dans les dispositifs industriels ; ce sont :

  • le système binaire,
  • le système octal,
  • le système hexadécimal.

Ces trois systèmes sont des systèmes pondérés où le poids de pondération de chaque chiffre dépend de sa position dans le nombre.

Le système de numérotation binaire est composé des deux chiffres 0 et 1. Tout chiffre dans ce système est appelé bit alors que les nombres sont appelés mot de bits ou séquence de bits.

Le système de numérotation octale est un système composé des huit chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Ce système est utilisé pour abréger l'écriture des nombres dans le système de numérotation binaire. En effet, à chaque chiffre de ce système correspond une séquence de trois bits.

Le système de numérotation hexadécimale est, lui aussi, utilisé pour abréger les écritures binaires. Ce système est composé de seize chiffres qui sont les dix chiffres du système décimal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9) et les six premières lettres de l'alphabet (A, B, C, D, E et F). Dans ce système, chaque chiffre représente une séquence de quatre bits dans le système binaire.

Parmi les techniques de codage les plus utilisées, on retrouve le code DCB, le code Gray et le code ASCII.

Le code DCB est un code pondéré. Chaque chiffre du système décimal y est représenté par une séquence de quatre bits. L'avantage de ce code est de permettre une méthode plus rapide et plus simple de représenter les nombres décimaux en numérotation binaire.

Le code Gray, aussi appelé "code binaire réfléchi", est un code non pondéré où les chiffres ne diffèrent des précédents que d'un seul bit. Ce code est très utilisé dans les convertisseurs analogiques numériques.

Le code ASCII est un standard international de représentation des chiffres et des caractères alphanumériques. Dans ce standard, on fait correspondre un code à chaque caractère d'un clavier d'ordinateur pour permettre sa compréhension par la machine.

Résumé sur la logique booléenne :

• La logique booléenne est une logique à deux états : 0 et 1.

• Dans la logique booléenne les nombres sont les chiffres du système binaire : 0 et 1, et les opérateurs de base sont le "ou", le "et" et le "non" auxquels on ajoute l'opérateur "oui".

• L'opérateur logique "ou" donne une sortie à l'état logique 1 quand l'une des entrées ou plusieurs entrées à la fois sont à l'état logique 1. Il présente une sortie à l'état logique 0 uniquement quand toutes les entrées sont à l'état logique 0.

• L'opérateur "et" produit une sortie à l'état logique 1 seulement si toutes les entrées sont à l'état logique 1 simultanément. Si l'une ou l'autre des entrées ou plusieurs à la fois sont à l'état logique 0, la sortie de cet opérateur est à l'état logique 0.

• L'opérateur "non" inverse le signal de sortie par rapport à celui de l'entrée.

• L'opérateur "oui" délivre le signal de sortie si l'information d'entrée est à l'état 1.

• L'opérateur "in" est un opérateur "non" utilisé en inhibition.

• L'opérateur "ou exclusif" représente le va et vient.

 L'opérateur "non ou" est l'inverse de l'opérateur "ou".

• L'opérateur "non et" est l'inverse de l'opérateur "et".

• La barre apparaissant au dessus d'une équation logique représente l'inverse ou la négation.

Résumé sur l'écriture et la simplification de l'expression d'une fonction logique combinatoire :

• La table de vérité d'une fonction logique combinatoire est composée d'autant de lignes qu'il y a de combinaisons possibles des variables d'entrée.

• Le nombre des combinaisons possibles est égal à 2 exposant le nombre de variables indépendantes.

  • avec deux variables, il y a 22 = 4 combinaisons,
  • avec trois variables, il y a 23 = 8 combinaisons,
  • avec quatre variables, il y a 24 = 16 combinaisons.

• Les combinaisons sont énumérées en comptant en binaire, ceci évite les oublis.

• A chaque ligne de la table de vérité correspond un minterm. Si une variable est à l'état logique 0 à cette ligne, elle est remplacée par sa négation alors que si elle est à l'état logique 1, elle est remplacée par son nom dans l'expression du minterm.

• L'expression logique d'une fonction peut être obtenue à partir de la somme de tous les minterms où la fonction vaut 1. On obtient alors une expression de la forme "S.O.P.".

 A chaque ligne d'une table de vérité correspond un maxterm. Un maxterm est une addition logique des variables booléennes. Dans une ligne, si une variable vaut 0, elle est remplacée par son nom dans l'expression du maxterm. Quand elle vaut 1, elle est remplacée par sa négation.

• L'expression d'une fonction logique sous la forme "P.O.S." est obtenue en multipliant tous les maxterms pour lesquels la fonction vaut 0.

• La simplification algébrique est basée sur la loi de l'adjacence logique. Cette loi stipule que deux termes sont adjacents logiquement s'ils ne varient que d'une seule variable (directe dans un terme, complémentée dans l'autre). Cette variable est alors éliminée.

• La simplification d'une expression comprenant plus que deux termes se fait par des groupements de deux termes adjacents logiquement et en effectuant les simplifications sur chaque groupement.

• Dans une expression de la forme "S.O.P.", un minterm peut être réécrit dans l'expression de la fonction pour permettre des groupements de deux minterms.

• La table de Karnaugh d'une fonction logique est une grille composée d'un nombre de cases égal à 2 exposant le nombre des variables de la fonction.

• Chaque minterm correspondant à une case de la table de Karnaugh est adjacent logiquement aux minterms des cases voisines à la verticale et à l'horizontale.

• Les cases des côtés opposés et des côtés inférieur et supérieur d'une table de Karnaugh sont aussi adjacentes.

• La simplification par la table de Karnaugh s'effectue en regroupant les minterms des cases adjacentes contenant des 1.

• Dans chaque groupement de 1, si une variable change d'état logique, cette variable est éliminée de l'expression logique.

Résumé sur les circuits logiques combinatoires :

Les étapes de synthèse des problèmes de logique combinatoire sont les suivantes :

interpréter les données du problème ;

- établir la table de vérité du problème ;

réduire la solution en utilisant la table de Karnaugh ;

tracer le schéma logique de la fonction obtenue ;

tester le fonctionnement du circuit en simulation par la vérification de sa table de vérité.

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