Opérations de base (2) - Cours de Mathématiques avec Maxicours

01 49 08 38 00 - appel gratuit de 9h à 18h (hors week-end)

Opérations de base (2)

1. Fractions décimales

Les fractions décimales sont des fractions dont le dénominateur est une puissance de 10, comme par exemple 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, etc.

Pour transformer une fraction décimale en nombre décimal, il suffit de diviser le numérateur par la puissance de 10 du dénominateur, comme l'illustrent les exemples suivants.

  • 5/10 = 0,5
  • 20/1000 = 0,02
  • 535/100 = 5,35

La valeur de chaque chiffre d'un nombre décimal varie selon sa position, comme l'indique la figure suivante.

Valeur des chiffres d'un nombre décimal :

Pour convertir une fraction ordinaire en nombre décimal, il faut diviser son numérateur par son dénominateur.

Si on désire obtenir ce résultat en fraction décimale, il suffit de le transformer en entier en le multipliant par une puissance de 10 et de le placer sur cette puissance de 10.

L'exemple suivant indique la façon d'effectuer ce type de conversion.

Problème

Transformez la fraction 3/8 en fraction décimale.

1. Division du numérateur par le dénominateur

Commençons par diviser le numérateur par le dénominateur :

3 ÷ 8 = 0,375

La fraction 3/8 équivaut donc au nombre décimal 0,375.

2. Expression sous forme de fraction décimale

Pour exprimer le résultat obtenu à l'étape précédente sous forme de fraction décimale, il faut :

a) multiplier le résultat par un multiple de 10 afin d'obtenir un nombre entier ;

b) placer ce résultat sur le multiple utilisé.

Pour que 0,375 devienne un nombre entier, il faut le multiplier par 1 000. On obtient donc :

375/1 000

3/8 équivaut donc à 375/1000.

Opérations de base sur les fractions :

Étant donné leur forme particulière, les fractions doivent être additionnées, soustraites, multipliées et divisées selon des règles bien précises, qui diffèrent de celles des nombres entiers ou décimaux.

Addition et soustraction de fractions

Pour être additionnées ou soustraites, les fractions doivent d'abord avoir un dénominateur commun, c'est-à-dire qu'elles doivent posséder le même dénominateur.

Lorsque les fractions possèdent des dénominateurs différents, il faut donc les transformer de manière à ce qu'elles soient toutes sur le même dénominateur.

Pour ce faire, on doit déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs des fractions.

Exemple:

comment situer des fractions sur le même dénominateur.

Problème

Placez les fraction suivantes sur un dénominateur commun. 1/2, 5/4 et 7/8

1. Plus petit multiple commun

Trouvons d'abord le plus petit multiple commun de ces trois dénominateurs. Il s'agit de 8, puisque 2,4 et 8 peuvent être multipliés par un chiffre pour donner un produit de 8.

2. Résultat

Plaçons maintenant les trois fractions sur ce dénominateur commun. Pour y arriver, nous devons trouver le multiplicateur de chaque dénominateur permettant d'obtenir un résultat de 8.

Comme vous l'avez vu précédemment, une des propriétés des fractions nous permet de multiplier le numérateur et le dénominateur par un même chiffre, sans toutefois changer la valeur totale de la fraction. Nous pouvons donc effectuer les opérations suivantes :

1/2  4/4 = 4/8

5/4  2/2 = 10/8

7/8  1/1 = 7/8

Nous obtenons ainsi les trois fractions initiales placées sur un dénominateur commun, soit 4/8, 10/8 et 7/8.

Une fois que toutes les fractions possèdent un dénominateur commun, on peut procéder à leur addition ou à leur soustraction.

Dans ces deux opérations, seuls les numérateurs s'additionnent ou se soustraient ; le dénominateur, lui, demeure inchangé.

Les exemples suivants illustrent la façon de procéder pour additionner et soustraire des fractions.

Problème 1 : Additionnez 3/4 et 1/2.

1. Dénominateur commun

Plaçons d'abord ces fractions sur leur dénominateur commun : 4.

3/4  1/1 = 3/4

1/2  2/2 = 2/4

2. Addition

Il ne reste plus qu'à additionner les numérateurs des deux fractions :

3/4 + 2/4 = 5/4

La somme des deux fractions est donc de 5/4.

Problème 2 : Soustrayez 5/3 à 7/4.

1. Dénominateur commun

Plaçons ces fractions sur leur dénominateur commun : 12.

5/3  4/4 = 20/12

7/4  3/3 = 21/12

2. Soustraction

Effectuons la soustraction des numérateurs :

21/12 - 20/12 = 1/12

La différence des deux fractions est donc de 1/12.

Multiplication de fractions

Pour multiplier des fractions, il suffit de multiplier leurs numérateurs ensemble et leurs dénominateurs ensemble:

Exemple:

Problème

Multipliez 5/8 par 2/3.

Multiplication

Multiplions les numérateurs ensemble et multiplions les dénominateurs ensemble.

Le produit des deux fractions est 10/24 ou encore, si nous simplifions, 5/12.

 

 
Le produit de deux fractions est inférieur à la valeur de la plus petite des deux.
Par exemple : 1/2  3/4 = 3/8. 3/8 (0,375) est plus petit que 1/2 (0,5).

Division de fractions

Pour diviser une fraction par une autre, il faut:

  1. inverser la deuxième fraction;
  2. puis effectuer leur multiplication.

Pour inverser la deuxième fraction, on doit situer:

  • le dénominateur à la place du numérateur,
  • et le numérateur à la place du dénominateur.

Exemple:

Problème

Divisez 3/4 par 1/2.

1. Inversion du diviseur

Inversons le diviseur :

1/2 devient 2/1

2. Multiplication des deux fractions

Multiplions les deux fractions :

3/4  2/1 = 6/4

Le quotient des deux fractions est donc 6/4 ou, si nous simplifions le résultat, 1 1/2.

 

2. Opérations de base sur les nombres décimaux

Les quatre opérations de base sur les nombres décimaux s'effectuent de la même manière que sur les entiers.

Cependant, on doit porter une attention particulière à la position de la virgule dans la réponse.

Addition et soustraction de nombres décimaux

Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, il suffit d'aligner les virgules sur une même ligne verticale puis d'effectuer l'opération.

Exemple d'addition de nombres décimaux:

Problème

Effectuez l'addition suivante : 0,376 + 3,1416 + 37,0078 + 88,2785

Addition

Alignons les virgules, puis effectuons l'addition comme sur des entiers :

La somme s'élève à 128,8039.

Soustraction de nombres décimaux

Exemple de soustraction de nombres décimaux:

Problème

Effectuez la soustraction suivante : 8,037 - 12,431

Soustraction

Ici encore, il suffit d'aligner les virgules puis d'effectuer la soustraction comme avec des nombres entiers. Dans ce cas toutefois, la réponse sera négative :

La différence est égale à - 4,394.

Multiplication de nombres décimaux

Pour multiplier deux nombres décimaux, on fait d'abord le produit des deux nombres sans se soucier des virgules.

A la fin de l'opération, on situe la virgule dans la réponse en procédant comme suit :

  1. compter le nombre de chiffres significatifs que possèdent les deux nombres de départ, c'est-à-dire le nombre de chiffres placés à droite de la virgule ;
  2. à partir de la droite de la réponse, placer la virgule après le nombre total de chiffres significatifs établis à l'étape précédente.

Exemple de multiplication de deux nombres décimaux.

 

Problème

Effectuez la multiplication suivante : 3,816  5,17

Multiplication

Effectuons d'abord la multiplication comme s'il s'agissait de nombres entiers :

Positionnement de la virgule

Le premier facteur possède trois chiffres après la virgule tandis que le deuxième en compte deux. Il y a donc 5 chiffres significatifs.

Plaçons la virgule dans la réponse après 5 chiffres à partir de la droite :

1972872 devient 19,72872

Le produit est égal à 19,728 72.

 

Division de nombres décimaux

La méthode la plus simple pour diviser un nombre décimal par un autre consiste à les transformer en nombres entiers en les équilibrant puis à effectuer la division.

Pour ce faire, on procède comme suit :

  1. déplacer vers la droite la virgule du nombre qui contient le plus de chiffres dans sa partie décimale jusqu'à l'obtention d'un nombre entier ;
  2. déplacer vers la droite la virgule de l'autre nombre décimal le même nombre de fois, en ajoutant des zéros au besoin ;
  3. effectuer la division.

Exemple de division de deux nombres décimaux.

Problème

Effectuez la division suivante : 431,372 ÷ 0,27

 

1. Transformation des nombres décimaux en nombres entiers

Pour transformer les deux nombres décimaux en nombres entiers, nous devons, dans chaque cas, déplacer la virgule de trois positions vers la droite.

Nous avons donc :431 372 ÷ 270

 

2. Division

Il ne reste plus qu'à effectuer la division :

Le quotient est de 1597,67.

 

3. Exposants et radicaux

De nombreuses formules utilisées en industrie comportent des exposants et des radicaux.

Vous devez donc savoir manipuler ces expressions mathématiques.

Exposants

Un exposant indique combien de fois il faut multiplier un chiffre par lui-même.

Ainsi, 102 indique qu'il faut multiplier le nombre 10 par lui-même ce qui donne :

10 x 10 = 100

(On appelle aussi cette opération élever un nombre au carré).

De même, 34 signifie que l'on doit multiplier le nombre 3 par lui-même quatre fois :

3 x 3 x 3 x 3 = 81


Sur la calculatrice, la touche x2 permet d'élever un nombre au carré ; la touche yx sert à calculer la valeur d'un nombre possédant un exposant différent de 2.

Radicaux :

Le symbole signifie extraire la racine carrée d'un nombre.

Cette opération représente l'opération inverse de la précédente. Ainsi, signifie que l'on doit trouver le nombre qui, multiplié par lui-même est égal à 25. Ce nombre est 5.

Pour extraire la racine carrée d'un nombre, on doit se servir de la touche de la calculatrice.


Pour trouver la racine carrée d'une fraction à l'aide de la calculatrice, il est préférable de la convertir en nombre décimal d'abord.

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Découvrez
Maxicours

Des profs en ligne

Géographie

Des profs en ligne

  • 6j/7 de 17h à 20h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les 10 matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Une interface Parents