Opérations de base (1)

Les mathématiques comptent quatre opérations de base :

• l'addition;
• la soustraction;
• la multiplication;
• la division.

Dans cette étude, vous verrez comment effectuer ces opérations sur:

• les nombres entiers,
• les fractions,
• les nombres décimaux.

Enfin, vous réviserez l'ordre des étapes de résolution des expressions arithmétiques comprenant des opérations variées. 

Les nombres entiers, représentent des unités, ils peuvent être:

• positifs (3, 6000, 14 743);
• négatifs (- 8, - 452, - 35 679);
• ou nuls (0).

Ces nombres entiers sont regroupés dans l'ensemble Z :

Z = {…, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, …}

Si on les situe en ordre croissant sur une droite, les entiers négatifs sont situés à gauche du zéro ; les entiers positifs se trouvent à droite du zéro (figure ci-dessous).

Droite numérique horizontale :

Comparaison de nombres entiers :

Comparer deux nombres entiers équivaut à se demander si le premier nombre est plus petit (<), plus grand (>) ou égal (=) au second nombre.

Droite numérique horizontale :

Sur la droite de la figure 2.1b, les nombres sont disposés de gauche à droite du plus petit au plus grand. On peut donc écrire que :

• 4 > 1
• - 5 < - 3
• 2 > - 6

Addition et Soustraction de nombres entiers :

Addition de nombres entiers :

L'addition consiste à réunir, en une seule expression, deux ou plusieurs valeurs de même nature.

Le résultat de l'addition se nomme la somme ou le total

 
Il est essentiel que les valeurs additionnées ensemble soient de même nature. Les termes de l'addition doivent donc posséder les mêmes unités de mesure, ou encore être des nombres absolus, c'est-à-dire des nombres sans unité de mesure.

Pour additionner deux nombres de même signe (positifs ou négatifs), on doit :

• faire la somme des deux nombres ;
• donner à la somme le même signe que celui des deux nombres.

Ainsi : 3 457 + 294 = 3 751 et - 423 + - 241 = - 664

Pour faire la somme de deux nombres entiers de signe différent (un positif et l'autre négatif), il faut :

•  retrancher du premier nombre la valeur du second sans tenir compte des signes ;
• donner au résultat le même signe que celui de l'entier le plus élevé (en valeur absolue).

Ainsi : - 453 + 283 = - 170 et 329 + - 6 783 = - 6 454

Sur la calculatrice, la touche +/- permet d'attribuer le signe négatif à un nombre. Il faut d'abord entrer le nombre puis appuyer sur cette touche.

Soustraction de nombres entiers :

La soustraction consiste à retrancher du premier terme d'une équation la valeur du second terme. Le résultat de la soustraction est appelé la différence.

Tout comme dans le cas de l'addition, les nombres de la soustraction doivent être de même nature.

Soustraire un nombre équivaut à additionner son opposé. Ainsi, pour soustraire deux nombres entiers, il faut :

• trouver l'opposé du nombre à soustraire (le deuxième terme) ;
• transformer la soustraction en addition ;
• calculer la somme en appliquant la loi des signes de l'addition.

Par exemple :

- 278 - 125 = - 403

(Cette opération équivaut à faire l'opération suivante :- 278 + - 125)

mais 278 - - 125 = 403 (Cette opération équivaut à faire l'opération suivante : 278 + 125).

Multiplication de nombres entiers :

La multiplication permet d'additionner un nombre à lui-même autant de fois que l'exige le multiplicateur.

Cette opération sert à additionner rapidement plusieurs termes identiques. Le résultat de la multiplication se nomme le produit.

• Deux règles sont à retenir concernant la multiplication de deux nombres entiers :

Ainsi :- 4 976 - 34 = 169 184 et - 756  39 = 29 484

Distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction :

L'application de la propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction signifie multiplier chacun des termes contenus dans des parenthèses par le nombre qui multiplie ces parenthèses.

La distributivité permet d'obtenir le même résultat que nous obtiendrions en multipliant la somme ou la différence des nombres entre parenthèses par le multiplicateur.

Par exemple, l'expression 3 (6 + 7) équivaut à écrire :

• 3 (6 + 7) = (3  6) + (3  7)
• 3  13 = 18 + 21
• 39 = 39

Lorsqu'un nombre précède immédiatement des parenthèses, le symbole de la multiplication (x) est sous-entendu ; ce nombre multiplie le contenu des parenthèses.

Il faut prendre garde au signe du multiplicateur, si celui-ci est négatif, le produit s'effectuera en changeant le signe de chacun des termes entre parenthèses, conformément à la loi des signes de la multiplication.

Voici un exemple illustrant la façon de distribuer la multiplication sur la soustraction :

• - 5 (14 - 3 - 8) = (- 5  14) - (- 5  3) - (- 5  8)
• - 5  3 = - 70 - - 15 - - 40
• - 15 = - 70 + 15 + 40
• - 15 = - 15

Division de nombres entiers :

La division consiste à séparer un nombre en plusieurs parties de valeur égale.

C'est l'opération inverse de la multiplication.

Le nombre qui est divisé s'appelle le dividende, tandis que le nombre qui divise s'appelle le diviseur. Le résultat de la division, quant à lui, se nomme le quotient.

Lors de la division, il peut y avoir un reste inférieur au diviseur. Dans ce cas, on sépare le quotient par une virgule et on poursuit la division après avoir multiplié le reste par 10.

Tout comme dans le cas de la multiplication, les deux règles suivantes s'appliquent à la division d'un nombre entier par un autre :

• le quotient de deux nombres entiers de même signe est positif ;
• le quotient de deux nombres entiers de signe différent est négatif.

Par exemple : - 848 ÷ - 4 = 212 et 9 865 ÷ - 5 = - 1 973

Contrairement à l'addition et à la soustraction, la division et la multiplication peuvent s'effectuer sur des nombres possédant des unités de mesure différentes.

Par exemple une vitesse:

50 m ÷ 10 s = 5 m/s.

Dans le cas de la multiplication et de la division, le zéro impose des règles particulières :

• tout nombre multiplié par 0 donne 0 ;
• lorsque 0 est divisé par un nombre autre que 0, la réponse est 0 ;
• lorsqu'un nombre est divisé par 0, la solution est non définie (impossible)

Entier : priorités des opérations :

Jusqu'ici, nous avons vu des équations n'impliquant qu'une seule opération mathématique. Cependant, il est fréquent de rencontrer des équations faisant appel à plusieurs opérations, souvent regroupées entre parenthèses.

Ce genre d'équation peut prendre la forme suivante : 6 (3 - 9) + (- 5) (8 ÷ 4 + 2) - 8

Pour résoudre des équations mathématiques plus complexes, il faut respecter la priorité des opérations en suivant les étapes suivantes :

Les étapes de résolution des équations complexes s'appliquent à tous les nombres : entiers, fractions, nombres décimaux.

Problème Solutionnez l'équation suivante : 6 (3 - 9) + (- 5) (8 ÷ 4 + 2) - 8 1. Résolution des opérations entre parenthèses Nous devons tout d'abord résoudre les deux opérations entre parenthèses. Pour résoudre la deuxième opération, nous devons tout d'abord effectuer la division, puis l'addition : 6 (3 - 9) + (- 5) (8 ÷ 4 + 2) - 8 6 (- 6) + (- 5) (2 + 2) - 8 6 (- 6) + (- 5) (4) - 8 2. Résolution des multiplications Effectuons, de gauche à droite, les multiplications : (- 36) + (- 20) - 8 3. Résolution de l'addition et de la soustraction - 36 + (- 20) - 8 - 56 - 8 = - 64 Le résultat de cette équation est donc - 64.

 

Dans la pratique, il est plutôt rare que la valeur d'une grandeur physique soit exprimée uniquement par un nombre entier.

En effet, pour être juste et précise, une mesure doit souvent comprendre une fraction de l'unité.

Afin de pouvoir décrire correctement les mesures prélevées dans l'industrie et effectuer les calculs relatifs à celles-ci, il est important de connaître :

• les propriétés des fractions,
• et leurs applications.

Propriétés des fractions :

Une fraction représente une partie d'une totalité.

La fraction est formée de deux parties : le numérateur et le dénominateur.

Par exemple :

Les fractions possèdent des propriétés particulières, qui sont très pratiques dans les calculs mathématiques.

Ainsi, la valeur absolue d'une fraction demeure constante lorsqu'on multiplie ou qu'on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Cette propriété permet notamment de simplifier les nombres.

L'exemple suivant démontre la conservation des proportions des fractions lorsque leur numérateur et leur dénominateur sont multipliés par le même nombre (2 dans ce cas) :

.

Cette propriété permet notamment de réduire des fractions à leur plus simple expression ; c'est-à-dire de diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand multiple commun.

Par exemple :

.

D'autre part, si deux fractions possèdent le même dénominateur, leur valeur est directement proportionnelle à celle de leur numérateur.

Cette propriété permet d'estimer rapidement la valeur des fractions et d'effectuer sur elles des opérations d'addition et de soustraction.

Par exemple, la fraction 3/8 est inférieure à la fraction 7/8, puisque 3 est plus petit que 7 et que ces deux fractions possèdent le même dénominateur.

Expressions fractionnaires :

Les fractions ordinaires représentent une partie d'une unité. Par conséquent, elles sont inférieures à 1.

Au contraire, les expressions fractionnaires sont égales ou supérieures à 1.

Par exemple, 13/12, 8/3 et 7/5 sont des expressions fractionnaires puisqu'elles représentent des valeurs plus grandes que 1.

On peut également retrouver les expressions fractionnaires sous la forme d'un entier accompagné d'une fraction. On parle alors de nombre fractionnaire.

Par exemple, 1 1/12, 2 2/3 et 1 2/5 sont des nombres fractionnaires.

Pour transformer un nombre fractionnaire en expression fractionnaire, il faut suivre les étapes suivantes :

•  multiplier l'entier par le dénominateur de la fraction ;
•  additionner à ce produit, la valeur du numérateur ;
•  placer le résultat sur le dénominateur.

Exemple:

Comment convertir un nombre fractionnaire en expression fractionnaire.

Problème Convertissez 3 5/8 en expression fractionnaire. 1. Multiplication de l'entier par le dénominateur La première étape de la conversion consiste à multiplier l'entier par le dénominateur de la fraction. On obtient donc : 2. Addition de la valeur du numérateur Il faut ensuite additionner la valeur du numérateur au produit obtenu à l'étape 1 : 3. Résultat La somme obtenue à l'étape 2 doit enfin être placée sur le dénominateur : 29/8 3 5/8 équivaut donc à 29/8.

A l'inverse, pour convertir une expression fractionnaire en nombre fractionnaire, on doit diviser le numérateur par le dénominateur et exprimer le reste sous forme de fraction. Voyons un exemple de ce type de conversion.

Problème Convertissez 8/5 en nombre fractionnaire. 1. Division du numérateur par le dénominateur Effectuons la première étape de la conversion, soit la division du numérateur par le dénominateur :1 reste 3 2. Expression du reste sous forme de fraction Pour exprimer le reste de la division sous forme de fraction, il suffit de le placer sur le diviseur : 3/5 8/5 équivaut donc à 1 3/5.