Figures géométriques introduction (2) - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Figures géométriques introduction (2)

1. Les polygones

On regroupe les figures géométriques possédant plus de quatre côtés sous l'appellation de polygones.

On désigne les polygones par le nombre de côtés qu'ils possèdent.


Les polygones réguliers de plus de quatre côtés s'apparentant aux formes de divers éléments en mécanique industrielle apparaissent à la figure suivante.

Polygones :

Noms

Nombre de cotés

Figures

Pentagone

5

Hexagone

6

Octogone

8

Décagone

10

 

Régle:

Tout polygone régulier et convexe peut être divisé en autant de triangles qu'il possède de côtés moins 2 (figure 3.26).

On peut écrire cet énoncé sous la forme de l'équation suivante :

nombre de triangles = n - 2

dans laquelle :

n = nombre de côtés du polygone

Figure 3.26  Nombre de triangles dans un polygone régulier.

n - 2 = 5

 

A Washington, l'édifice qui abrite le secrétariat à la Défense et l'état-major de l'armée américaine se nomme le Pentagone.
On l'appelle ainsi parce qu'il possède la forme d'un pentagone régulier.

2. Les cercles

Un cercle est une figure géométrique dont tous les points du contour sont situés à la même distance d'un point fixe, appelé centre.

On appelle circonférence le périmètre du cercle.

Observez, sur la figure suivante, la différence entre une circonférence et un cercle.

La circonférence peut être divisée en quatre parties égales, appelées quadrants.

Circonférence et cercle :

Circonférence

Cercle

Rayon, circonférence , diamètre et corde :

Certaines lignes, tracées à l'intérieur ou à l'extérieur d'une circonférence, possèdent des noms particuliers.

On désigne par le terme rayon un segment de droite qui relie n'importe lequel des points de la circonférence au centre du cercle

Rayon, circonférence , diamètre et corde :

La relation mathématique entre la circonférence et le rayon peut s'écrire de la façon suivante :

circonférence p(C) = 2 x π x r avec:

π=3,1416 (pi) et r = valeur du rayon du cercle

La relation mathématique entre le diamètre et le rayon d'un cercle est la suivante :

diamètre (d ou Ø) = 2 r

La corde est un segment de droite joignant deux points quelconques de la circonférence et ne se prolongeant pas au-delà de celle-ci

Le diamètre est tout simplement une corde particulière qui passe par le centre de la circonférence

Quelle que soit la grosseur d'un cercle, le rapport entre la circonférence et le diamètre produit toujours le même résultat, désigné par la lettre grecque π . Le nombre 3,1416 que l'on utilise généralement comme valeur de πest une approximation, due à un mathématicien grec du nom de Ptolémée (112 après J.-C.). En effet, le nombre π compte une infinité de décimales. La valeur proposée par Ptolémée nous facilite donc de nombreux calculs !

Les cercles: calculs

Exemple:

Comment calculer à partir de la valeur de son rayon :

  • la valeur de la circonférence,
  • le diamètre d'un cercle.
Problème

Le rayon d'une poulie mesure 14 cm. Déterminez :

a) la valeur de la circonférence de la poulie ;

b) la valeur du diamètre de la poulie.

1. Calcul de la valeur de la circonférence

Pour calculer la circonférence de la poulie, il suffit d'appliquer l'équation suivante :

C = 2. π.r

C = 2  3,1416  14 cm

C = 87,96 cm

La circonférence de la poulie mesure donc 87,96 cm.

2. Calcul de la valeur du diamètre

Appliquons maintenant la formule de calcul du diamètre :

d = 2 x r

d = 2  14 cm

d = 28 cm

Le diamètre de la poulie mesure 28 cm.

Les Arc de cercle :

Un arc de cercle est une portion de circonférence.

Comme vous pouvez le voir sur la figure suivante, cette portion de cercle est généralement délimitée par deux segments de droite formant un angle au centre du cercle.

Sachant que CD est le symbole de l'arc, on peut établir la relation suivante entre un arc de cercle et la circonférence :

C = 2.π.r

Arc de cercle :

Voyons un exemple d'application de cette formule.

Problème

Déterminez la valeur de l'arc de cercle de la figure 3.33.

Figure 3.33  Arc de cercle 1.

 

 

1. Identification des données

Sur la figure 3.33, on peut voir que l'angle formé par les deux segments de droite au centre du cercle mesure 70°.

De plus, nous savons que le rayon du cercle mesure 4,5 mm.

Pour pouvoir calculer la valeur de l'arc de cercle, nous devons d'abord déterminer la valeur de sa circonférence.

2. Calcul de la valeur de la circonférence

Appliquons la formule de calcul de la circonférence d'un cercle :

C = 2.π.r

C = 2  3,1416  4,5 mm

C = 28,27 mm

3. Calcul de la valeur de l'arc de cercle

Nous pouvons maintenant calculer la valeur de l'arc de cercle :

Arrondissons le résultat à 5,5 mm.

Sécante et tangente :

On appelle sécante une corde dont les extrémités se prolongent au-delà de la circonférence.

Une tangente est un segment de droite qui touche une circonférence en un seul point.

La figure suivante montre une sécante et une tangente.

Sécante et tangente :

 

 

Propriétés du cercle :

Le cercle possède des propriétés intéressantes.

A-propriété 1 exemple:

lorsque le diamètre est perpendiculaire à une corde, il divise cette corde en deux parties égales.

Diamètre perpendiculaire à une corde :

 

B-propriété 2 exemple:

Tout rayon passant par le point de tangence d'un segment de droite avec une circonférence est perpendiculaire à ce segment de droite.

Cette propriété s'avère utile dans la recherche de solutions à certains problèmes de la mécanique industrielle.

En effet elle permet notamment de calculer la longueur de courroies.

Portez donc une attention particulière à la figure suivante.

Rayon et tangente :

C-propriété 3 exemple:

au regard de la mécanique industrielle cette propriété se formule ainsi :

En partant d'un point situé à l'extérieur d'une circonférence, si l'on trace deux tangentes à cette circonférence, ces deux tangentes seront de longueur égale (figure suivante).

On se sert de cette propriété pour calculer, par exemple, la longueur de chaîne nécessaire pour lever une charge.

Tangentes extérieures à une circonférence :

D-propriété 4 exemple:

Lorsque deux circonférences possèdent un seul point commun, elles sont tangentes soit intérieurement, soit extérieurement.Les équations établissant la distance de centre en centre de ces circonférences sont présentées à la figure suivante.

Circonférences tangentes :

E-propriété 5 exemple:

Enfin, lorsque deux circonférences ne possèdent aucun point de tangence, l'équation permettant de déterminer leur distance de centre à centre se formule de la manière indiquée à la figure suivante.

Circonférences sans point de tangence :

En résumé sur les figures géométriques :

En terminant cette étude, retenez particulièrement les points suivants.

Le périmètre d'une figure géométrique correspond à la longueur de son contour.

Les angles aigus mesurent entre 0° et 90° ; les angles obtus mesurent entre 90° et 180°.

La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°.

L'angle extérieur d'un des sommets d'un triangle possède la même valeur que la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

Le théorème de Pythagore s'applique aux triangles rectangles. Ce théorème peut s'écrire comme suit : a2 + b2 = c2

Les trapèzes sont des quadrilatères possédant deux côtés opposés parallèles.

- Les parallélogrammes sont des quadrilatères dont les côtés opposés sont parallèles.

- On peut diviser les polygones réguliers en autant de triangles qu'ils possèdent de côtés moins 2.

- La circonférence d'un cercle se calcule à l'aide de la formule suivante :

C = 2.pi.r

Le diamètre d'un cercle correspond à l'équation suivante : d = 2. r

- On peut calculer la valeur d'un arc de cercle en appliquant la formule qui suit :

C : circonférence

- Le rayon d'un cercle qui passe par le point de tangence d'un segment de droite avec une circonférence est perpendiculaire à ce segment de droite.

Deux tangentes à une circonférence tracées en partant du même point extérieur à la circonférence sont de longueur égale.

C'est ainsi que se termine l'étude consacrée aux propriétés des figures géométriques de base.

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