En résumé sur l'écriture de l'expression d'une fonction logique combinatoire - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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En résumé sur l'écriture de l'expression d'une fonction logique combinatoire

A la suite de cette étude, vous devriez retenir plus particulièrement les points suivants.

Une table de vérité d'une fonction logique combinatoire est composée d'autant de lignes qu'il y a de combinaisons possibles des variables d'entrée.

Le nombre des combinaisons possibles est égal à deux exposant le nombre de variables indépendantes. Avec deux variables, il y a 22 = 4 combinaisons, avec trois variables, il y a 23 = 8 combinaisons et avec quatre variables, il y a 24 = 16 combinaisons.

- Les combinaisons sont énumérées en comptant en binaire, ceci évite les oublis.

A chaque ligne de la table de vérité correspond un minterm. Si une variable est à l'état logique 0 à cette ligne elle est remplacée par sa négation alors que si elle vaut 1, elle est remplacée par son nom dans l'expression du minterm.

L'expression logique d'une fonction peut être obtenue à partir de la somme de tous les minterms où la fonction vaut 1. On obtient alors une expression de la forme "S.O.P."(somme de produits).

A chaque ligne d'une table de vérité correspond un maxterm. Un maxterm est une addition logique des variables booléennes. Dans une ligne, si une variable vaut 0, elle est remplacée par son nom dans l'expression du maxterm. Quand elle vaut 1, elle est remplacée par sa négation.

Une expression d'une fonction logique sous la forme "P.O.S."(produit de sommes) est obtenue en multipliant tous les maxterms pour lesquels la fonction vaut 0.

Dans cette étude, vous avez appris à établir la table de vérité d'une fonction logique et à écrire son expression sous deux formes :

  • "somme de produits" et "produits de sommes".

Une étude vous permet d'apprendre à simplifier les expressions des fonctions logiques à l'aide des règles et des théorèmes de l'algèbre booléenne.

Simplification par la méthode de Karnaugh :

La conception des circuits logiques exige des simplifications successives. L'objectif principal de cette simplification est de réduire le nombre de cellules logiques exigées pour réaliser une fonction particulière. Ceci permet de réduire les circuits et les coûts.

L'algèbre booléenne est un bon moyen d'y arriver. Mais il est difficile de simplifier de longues équations. De plus, l'algèbre booléenne laisse parfois échapper certaines possibilités de simplification.

Dans cette étude, vous allez vous familiariser avec la méthode de Karnaugh. La méthode de Karnaugh est une méthode semigraphique de simplification des circuits logiques combinatoires.

Vous apprendrez premièrement comment construire une table (ou tableau) de Karnaugh pour écrire une expression booléenne.

Ensuite, vous maîtriserez la méthode de simplification de circuits logiques à partir de la lecture des tables de Karnaugh.

Construction de la table de Karnaugh :

Comme la table de vérité, la table de Karnaugh est une méthode d'écriture de l'expression d'une fonction logique.

L'avantage principal de la table de Karnaugh par rapport à la table de vérité est qu'elle permet une meilleure visualisation des propriétés de l'adjacence logique.

Forme de la table de Karnaugh :

La table de Karnaugh est une grille composée d'un certain nombre de cases. Chaque case est réservée à un minterm de la fonction logique. Comme le nombre des minterms est égal à deux exposant le nombre des variables indépendantes, le nombre des cases dans une table de Karnaugh est lui aussi égal à deux exposant le nombre des variables de la fonction.

Par exemple, pour une fonction logique à deux variables indépendantes, le nombre de cases est égal à 22 = 4 cases. Pour trois variables, on aura 23 = 8 cases et pour quatre variables, 24 = 16 cases.

Les parties a, b et c de la figure suivante montrent respectivement la table de Karnaugh des fonctions à deux, trois et quatre variables indépendantes.

Table de Karnaugh de fonctions à deux, trois et quatre variables :













(a)
(b)
















(c)

Pour deux variables indépendantes, la table de Karnaugh est un carré à quatre cases tel que le présente la partie a de la figure ci-dessus.

Quand il s'agit de trois variables, la table de Karnaugh est un rectangle à huit cases comme le montre la partie b de la figure ci-dessus.

La partie c de la figure ci-dessus vous fait voir une table de Karnaugh à quatre variables, c'est donc un carré à seize cases.

Disposition des minterms dans une table de Karnaugh :

Un minterm est dit adjacent à un autre minterm si leurs expressions ne diffèrent que d'une seule variable qui se présente sous la forme directe dans l'un et dans la forme complémentée dans l'autre.

Par exemple, pour une fonction à deux variables a et b, les minterms et sont dit adjacents puisqu'ils ne diffèrent que de la variable b.

Cette variable est présente sous sa forme directe b dans m1 et sous sa forme complémentée  dans m0. La disposition des minterms dans une table de Karnaugh est telle que chacun des minterms est voisin de ses minterms adjacents.

Table de Karnaugh à deux variables d'entrée :

Avec deux variables a et b, on dispose de quatre cases dans la table de Karnaugh. Chaque case doit représenter une combinaison parmi toutes les combinaisons possibles avec deux variables. Le tableau de la figure suivante présente cette table de Karnaugh à deux variables.

Table de Karnaugh d'une fonction à deux variables d'entrée :

Dans cette table, vous remarquez que toutes les combinaisons avec deux variables ont été prévues. La table est, en effet, divisée dans le sens de la hauteur en deux colonnes. La première est pour ou "NON a" (a = 0) et la deuxième pour le a (a = 1).

Dans le sens de la largeur, elle est divisée en deux lignes, la première est réservée à ou "NON b" (b = 0) alors que la deuxième concerne le b (b = 1).

Ainsi, chaque case correspond à une combinaison. Dans la première case, on a , c'est le minterm m0. La case juste en bas représente la combinaison , soit le minterm m1. La troisième case, en haut à droite, représente la combinaison , soit le minterm m2. La dernière case est réservée aux conditions où a = 1 et b = 1, soit le minterm a · b, m3.

Chaque minterm de cette table de Karnaugh ne diffère du minterm voisin, à la verticale ou à l'horizontale, que d'une seule variable. Ce sont donc des minterms adjacents.

Table de Karnaugh à trois variables d'entrée :

Avec trois variables d'entrée a, b et c, il y a 23 = 8 cases dans une table de Karnaugh. Les minterms sont disposés selon le principe montré à la figure suivante.

Cette disposition fait en sorte que chaque minterm soit voisin géographiquement de ses minterms adjacents. On utilise le code réfléchi (code Gray).

Table de Karnaugh d'une fonction à trois variables d'entrée :

La première ligne de cette table correspond à . Cette ligne intercepte quatre colonnes où on a respectivement  ET ,  ET b, a ET b et a ET . C'est la même chose pour la deuxième ligne où on a c (c = 1).

Tous les minterms de cette table sont adjacents aux minterms contenus dans les cases qui leurs sont voisines à l'horizontale et à la verticale. Ainsi, vous voyez que :

m0 : est voisin du minterm m2 : à l'horizontale et de m1 : à la verticale, qui sont tous deux des termes adjacents à m0 ;

m1 : est voisin de m0 : à la verticale et de m3 : à l'horizontale, qui sont tous deux des termes adjacents à m1 ;

m2 : est voisin à l'horizontale de m0 : et de m6 : . A la verticale, il est voisin de m3 : qui lui est aussi adjacent ;

Les minterms voisins de m3 : sont m1 : et m7 : (a · b · c) à l'horizontale, et m2 : à la verticale. Ces trois termes lui sont adjacents ;

- Pour m6 : , les termes voisins sont m2 : et m4 : à l'horizontale et le minterm m7 : (a · b · c) à la verticale. Ces trois minterms lui sont adjacents ;

m7 : (a · b · c) est voisin de m3 : et m5 : à l'horizontale et de m6 : , à la verticale. Tous ces minterms sont adjacents à m7 ;

m4 : est adjacent à m6 : à l'horizontale et de m5 : , son voisin à la verticale ;

- Pour m5 : , les cases voisines contiennent m4 : à la verticale et m7 : (a · b · c) à l'horizontale. Ces deux minterms sont adjacents à m5.

Remarque : une représentation de la table (ou tableau) de Karnaugh consiste à représenter pour chaque variable son état "1" par un trait continu fort sur les cotés de la table.

Table de Karnaugh à quatre variables d'entrée :

Pour quatre variables d'entrée, a, b, c et d, une table de Karnaugh doit avoir 24 = 16 cases. Ce nombre correspond au nombre de combinaisons possibles avec quatre variables d'entrée. Le tableau de la figure suivante montre la disposition des minterms à l'intérieur d'une table de Karnaugh d'une fonction à quatre variables d'entrée.

Table de Karnaugh d'une fonction à quatre variables d'entrée :

Chaque variable est à l'état logique 1 pour huit combinaisons possibles et elle est à l'état logique 0 pour les huit autres combinaisons.

La propriété principale de cette disposition est que tous les minterms voisins sont adjacents logiquement.

Passage de la table de vérité à la table de Karnaugh :

Maintenant que vous avez appris à construire une table de Karnaugh et à assigner à chaque case le minterm correspondant, vous pouvez vous demander comment on peut lire l'expression d'une fonction logique à partir de la table de Karnaugh.

Vous savez qu'une fonction logique peut valoir 1 pour certains minterms et 0 pour d'autres.

La condition de la présence d'un minterm dans l'expression de la fonction est que la fonction vaut 1 dans la ligne de la table de vérité correspondante à ce minterm. Le même principe s'applique à la table de Karnaugh. Si une fonction vaut 1 à une case quelconque de la table de Karnaugh, le minterm associé à cette case apparaît dans l'expression de cette fonction.

Voyez maintenant, à l'aide d'exemples, comment on passe de la table de vérité à la table de Karnaugh pour écrire l'expression d'une fonction logique.

Exemple de fonction à deux variables d'entrée

La figure suivante montre la table de vérité d'une fonction logique F à deux variables d'entrée a et b. Cette fonction vaut 1 pour les minterms m0 et m1.

Table de vérité de la fonction F à deux variables d'entrée :

a
b
F
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1
1 0

La table de Karnaugh associée à cette fonction est montrée à la figure suivante. Vous remarquez que dans cette table de Karnaugh, on a inscrit 1 aux cases correspondantes aux minterms m0 et m1, soit et .

Table de Karnaugh de la fonction F à deux variables d'entrée :

La fonction F peut s'écrire directement à partir de la table de Karnaugh comme . En pratique, il n'est pas nécessaire de construire la table de Karnaugh à partir de la table de vérité mais plutôt de passer directement de l'énoncé du problème à la table de Karnaugh.

Exemple de fonction à trois variables d'entrée :

Soit la table de vérité de la fonction F à trois variables d'entrée a, b et c tel que le montre la figure suivante.

Table de vérité d'une fonction à trois variables d'entrée :

a
b
c
F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0

La table de Karnaugh correspondante comporte huit cases tel qu'il est montré à la figure suivante. A la lecture des 1 dans cette table, on peut écrire la fonction F comme :

Table de Karnaugh d'une fonction à trois variables d'entrée :

Exemple de fonction à quatre variables d'entrée :

La figure suivante présente la table de vérité d'une fonction F à quatre variables d'entrée a, b, c et d. La table de Karnaugh correspondante à cette table de vérité est montrée par la figure ci-après.

Table de vérité d'une fonction F à quatre variables d'entrée :

a
b
c
d
F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1

Table de Karnaugh d'une fonction F à quatre variables d'entrée :

A partir de cette table de Karnaugh, la fonction F est obtenue en additionnant logiquement les minterms où la fonction vaut 1, ce qui donne : .

"Enroulement" d'une table de Karnaugh d'une fonction à trois variables d'entrée

Reprenons la table de Karnaugh d'une fonction à trois variables d'entrée comme le montre la figure suivante.

Disposition des minterms dans une table de Karnaugh d'une fonction à trois variables d'entrée :

Imaginez maintenant que cette table de Karnaugh est enroulée verticalement sur un cylindre comme le montre la figure suivante.

"Enroulement" d'une table de Karnaugh sur un cylindre dans le sens de la verticale :

Vous remarquez que les côtés gauche et droit sont adjacents.

Ainsi le minterm  est adjacent à .

De même que  est adjacent à .

Cette propriété d'enroulement de la table de Karnaugh est très importante pour effectuer les simplifications ; comme vous allez le voir un peu plus tard.

"Enroulement" d'une table de Karnaugh d'une fonction à quatre variables d'entrée

Reprenons maintenant la table de Karnaugh d'une fonction à quatre variables d'entrée a, b, c et d tel le montre la figure suivante.

Table de Karnaugh d'une fonction à quatre variables d'entrée :

Imaginez maintenant que cette table est enroulée verticalement sur un cylindre. Le résultat de cet "enroulement" est indiqué à la figure suivante.

"Enroulement" d'une table de Karnaugh d'une fonction à quatre variables d'entrée sur un cylindre dans le sens de la verticale :

Cet "enroulement" fait que les cases des côtés gauche et droit sont adjacentes.

En effet,  et  sont adjacents.

Les minterms  et  sont aussi adjacents,  et  le sont aussi.

Les minterms  et  le sont encore.

Maintenant, imaginez que cette table est "enroulée" sur un cylindre dans le sens de l'horizontale comme le montre la figure suivante.

"Enroulement" d'une table de Karnaugh d'une fonction à quatre variables d'entrée sur un cylindre dans le sens de l'horizontale :

Avec cet "enroulement", on obtient quatre nouvelles combinaisons de cases adjacentes.

En fait  est adjacent à ,  est adjacent à .

De plus,  est adjacent à , et  est adjacent à .

En fait, les côtés gauche et droit ainsi que les côtés supérieur et inférieur du cylindre sont adjacents.

Pour effectuer des simplifications avec la table de Karnaugh, il faut imaginer que la table est enroulée simultanément dans les deux sens.

Règles de groupement des 1 dans une table de Karnaugh :

Les minterms dont les cases contiennent des 1 dans une table de Karnaugh peuvent être regroupés si ces cases sont adjacentes. Dans le processus de simplification de l'expression d'une fonction à partir de la table de Karnaugh, on commence par grouper les cases qui ne peuvent être groupées avec aucune autre.Ces cases forment des îlots, c'est-à-dire qu'aucune simplification n'est possible.

Ensuite, on groupe les cases adjacentes avec lesquelles on ne peut grouper qu'une seule autre case, et ce, d'une seule façon possible.

Des exemples vous permettront de mieux comprendre les règles de groupement des 1.

Exemple 1 de règles de groupement des 1 dans une table de Karnaugh :

Dans la table de Karnaugh que montre la figure suivante, vous remarquez que les 1 de la fonction logique correspondent aux minterms m0, m4 et m7. Ces minterms sont indiqués dans le coin supérieur droit de chaque case de la table de Karnaugh.

Table de Karnaugh de l'exemple 1 :

La case du minterm m7 ne peut être groupée avec aucune autre case. En effet, aucune case adjacente à celle du minterm m7 ne contient 1. Rappelez-vous que les cases adjacentes se trouvent toujours dans le sens de la verticale et de l'horizontale. Conséquemment, la case du minterm m4 n'est pas adjacente à celle m7. Ensuite les minterms m0 et m4 peuvent être groupés ensemble.

La dernière étape de la simplification est la lecture des groupements. L'expression de la fonction comportera le minterm m7 dont la case correspondante n'a pu être groupée avec aucune autre case adjacente. Le groupement des cases des minterms m0 et m4 peut se simplifier de la façon suivante. Ce groupement correspond à la zone de la table de Karnaugh où ,  et a = 1 (a) pour un cas et  dans l'autre cas.

La simplification s'effectue alors à partir de la variable a. En effet, si un groupement est de part et d'autre d'une variable booléenne, cette variable est éliminée, l'expression F s'écrit alors :

Exemple 2 de règles de groupement des 1 dans une table de Karnaugh :

Considérez l'exemple de la table de Karnaugh que fait voir la figure suivante.

Table de Karnaugh de l'exemple 2 :

A partir de la disposition des 1 dans cette table, deux groupements sont possibles.

Le premier groupement se fait entre les cases des minterms  et . Ce groupement correspond à la zone de la table où : a = 1 (a) et , donc et il est situé de part et d'autre de la zone du c. La variable c est donc éliminée. On obtient donc pour ce premier groupement l'expression .

Le deuxième groupement concerne les cases des deux minterms m1 et m5. Ce groupement correspond à la zone où  avec c = 1 (c) et il est situé de part et d'autre de la zone du a ( dans m1 et a dans m5). La variable a est alors éliminée et l'expression simplifiée de ce groupement est alors . En combinant les deux termes obtenus, l'expression de la fonction s'écrit :

.

Exemple 3 de règles de groupement des 1 dans une table de Karnaugh :

Passez maintenant à l'exemple de la table de Karnaugh à deux variables d'entrée que présente la figure suivante.

Table de Karnaugh de l'exemple 3 :

Un seul groupement de cases adjacentes est possible dans cette table de Karnaugh. Ce groupement concerne les cases associées aux minterms m1 et m3. Ce groupement est situé dans la zone où b = 1 (b) et il est de part et d'autre de la zone du a. La variable a est alors éliminée, ce qui donne l'expression b. La fonction F s'écrit donc F = b.

Exemple 4

Soit la table de Karnaugh d'une fonction logique à quatre variables a, b, c et d que fait voir la figure suivante.

Table de Karnaugh de l'exemple 4 :

Les 1 de cette fonction logique correspondent aux minterms m1, m5, m11 et m15. Il y a deux groupements possibles de cases adjacentes dans cette table de Karnaugh.

Le premier groupement correspond aux cases des minterms m1 et m5. Dans cette zone d = 1 (d),  et . Ce groupement est, de plus, situé de part et d'autre de la zone du b, donc la variable b est éliminée. L'expression de ce groupement est alors .

Le deuxième groupement correspond aux minterms m11 et m15. Dans cette zone: a = 1 (a), c = 1 (c), d =1 (d). De plus, ce groupement est situé de part et d'autre de la zone du b, donc la variable b est encore éliminée de ce groupement. L'expression de ce groupement est alors (a · c · d).

L'expression totale de la fonction F s'écrit en combinant les expressions simplifiées des deux groupements, ce qui donne :

Exemple 4 de règles de groupement des 1 dans une table de Karnaugh :

Soit la table de Karnaugh d'une fonction logique à quatre variables a, b, c et d que fait voir la figure suivante.

Table de Karnaugh de l'exemple 4 :

Les 1 de cette fonction logique correspondent aux minterms m1, m5, m11 et m15. Il y a deux groupements possibles de cases adjacentes dans cette table de Karnaugh.

Le premier groupement correspond aux cases des minterms m1 et m5. Dans cette zone d = 1 (d),  et . Ce groupement est, de plus, situé de part et d'autre de la zone du b, donc la variable b est éliminée. L'expression de ce groupement est alors .

Le deuxième groupement correspond aux minterms m11 et m15. Dans cette zone: a = 1 (a), c = 1 (c), d =1 (d). De plus, ce groupement est situé de part et d'autre de la zone du b, donc la variable b est encore éliminée de ce groupement. L'expression de ce groupement est alors (a · c · d).

L'expression totale de la fonction F s'écrit en combinant les expressions simplifiées des deux groupements, ce qui donne :

Exemple 5 de règles de groupement des 1 dans une table de Karnaugh :

La table de Karnaugh, que montre la figure suivante, correspond à une fonction F qui vaut 1 pour les minterms m4, m5, m9 et m11.

Table de Karnaugh de l'exemple 5 :

Deux groupements de cases adjacentes sont possibles avec cette table.

Le premier groupement concerne les cases des minterms m4 et m5. Ce groupement est situé dans la zone où , b = 1 (b), . Il est de part et d'autre de la zone du d. Cette variable d est alors éliminée dans l'expression de ce premier groupement, ce qui donne l'expression simplifiée .

Le deuxième groupement possible est celui des minterms m9 et m11. Ce groupement est situé dans la zone où a = 1 (a), , d = 1 (d). De plus, il est de part et d'autre de la zone du c. L'expression simplifiée de ce groupement est alors .

L'écriture de la fonction totale simplifiée est la combinaison logique des deux expressions simplifiées de ces deux groupements, ce qui donne : .

Exemple 6 de règles de groupement des 1 dans une table de Karnaugh

La figure suivante présente la table de Karnaugh d'une fonction logique F à quatre variables a, b, c et d. Cette fonction vaut 1 pour les minterms m6, m9, m13 et m14.

Table de Karnaugh de l'exemple 6 :

Deux groupements de cases adjacentes sont possibles à partir de cette table de Karnaugh.

Le premier groupement concerne les cases des minterms m6 et m14. Ce groupement est situé dans la zone où b = 1 (b), c = 1 (c) et . Ce groupement présente un chevauchement entre les zones où a = 1 (a) et . La variable a est donc éliminée de l'expression du premier groupement qui s'écrit . Le deuxième groupement concerne les cases des minterms m9 et m13.

Ce deuxième groupement est situé dans une zone où a = 1 (a),  et d = 1 (d). Il est en plus situé de part et d'autre de la zone du b. Cette variable b est donc éliminée. L'expression simplifiée de ce groupement est .

Après toutes les simplifications possibles, l'expression totale de la fonction s'écrit : .

Règles de groupements de plusieurs 1 dans une table de Karnaugh :

Le nombre des minterms, dont les cases contiennent 1, pouvant être groupés ensemble est toujours une puissance de 2 (2, 4, 8 ou 16). Lors de la simplification d'une fonction logique par la méthode de Karnaugh, il faut effectuer tous les groupements possibles.

Ainsi, si quatre cases sont adjacentes, il faut les regrouper ensemble, ce qui donne une meilleure simplification de l'expression de la fonction.

L'exemple de la table de Karnaugh de la figure suivante montre cette technique. Dans cette table de Karnaugh, les cases de minterms m5, m7, m13 et m15 contiennent toutes des 1 et ce sont des cases adjacentes.

Groupement de quatre cases adjacentes dans une table de Karnaugh :

Le groupement de ces quatre cases se situe dans la zone où b = 1 et d = 1. Dans cette même zone, les variables a et c changent d'état logique. Ces deux dernières variables sont alors éliminées et l'expression de la fonction logique se réduit à l'expression b · d.

Regroupements des valeurs indifférentes :

Dans la conception des circuits logiques combinatoires, il peut arriver que la sortie du circuit soit indépendante de certaines combinaisons des valeurs d'entrées. Dans ces conditions, on dit que la sortie est indifférente de ces combinaisons.

La figure suivante montre la table de vérité d'une fonction logique F qui dépend de trois variables booléennes a, b et c. La table de Karnaugh de cette même fonction est montrée à la figure suivante.

Table de vérité d'une fonction logique F comportant des valeurs indifférentes :

a
b
c
F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 X
1 1 0 X
1
1 1 1

Vous remarquez dans cette table de vérité que la fonction F vaut 0 pour les minterms m0, m1, m2 et m3, et qu'elle vaut 1 pour les deux minterms m4 et m7. Pour les minterms m5 et m6, la valeur de la fonction F est indéterminée et elle est notée "X". Cette notation est utilisée pour préciser que la fonction F est indifférente des combinaisons d'entrées représentées par les minterms m5 et m6.

En d'autres mots, la sortie peut être à l'état logique 1 ou à l'état logique 0 pour ces deux combinaisons. De cette manière, une valeur indifférente peut être interprétée comme une valeur 0 ou une valeur 1 dans le but de maximiser le nombre des groupements possibles.

Par exemple, aucun groupement des 1 n'est possible dans la table de Karnaugh de cette fonction F, comme le montre la figure suivante. En effet, la fonction est à l'état logique 1 pour les deux combinaisons correspondantes aux minterms m4 et m7. Les deux cases de ces deux minterms ne sont pas adjacentes et ne peuvent pas par conséquent être regroupées ensemble.

Cependant, comme une valeur indifférente peut être interprétée comme un 1 ou un 0, on peut remplacer les "X" de cette table de Karnaugh par des 1 dans le but d'effectuer un groupement des cases des quatre minterms m4, m5, m6 et m7. On obtient alors la nouvelle table de Karnaugh que montre la figure ci-après.

Table de Karnaugh de la fonction F comportant des valeurs indifférentes :

Table de Karnaugh de la fonction F après le remplacement des valeurs indifférentes par des 1 :

Vous remarquez maintenant que le groupement des quatre cases où la fonction F vaut 1 se situe dans la zone où a = 1 (a) alors qu'il est de part et d'autre de la zone où b = 1 et de celle où c = 1. On obtient alors l'expression simplifiée F = a. Cet exemple montre l'importance des valeurs indifférentes dans la simplification par la méthode de Karnaugh.

Table de Karnaugh à maxterms :

Les tables de Karnaugh que vous avez utilisées jusqu'à présent sont des tables de Karnaugh à minterms. En effet, chaque case de la table représente un minterm de la fonction logique.

La table de Karnaugh peut avoir une autre forme qui contient les maxterms de la fonction logique. Cette forme est appelée table de Karnaugh à maxterms et son avantage principal est la simplification des expressions des fonctions logiques qui contiennent moins d'états 0 que d'états 1.

Il est alors plus simple de grouper les 0 que de grouper les 1 et l'expression obtenue est alors de la forme "P.O.S.".

Disposition des maxterms dans une table de Karnaugh :

Dans l'étude sur écriture de l'expression d'une fonction logique combinatoire, vous avez étudié les maxterms et l'écriture de l'expression d'une fonction logique sous la forme de "P.O.S.".

Vous vous rappelez qu'un maxterm est une addition logique de toutes les variables booléennes de la fonction et que dans l'expression du maxterm, une variable est remplacée par son nom si elle vaut 0 alors qu'elle est remplacée par sa négation lorsqu'elle vaut 1.

La table de Karnaugh à maxterms a la même forme que la table de Karnaugh à minterms à la différence que les cases de la table représentent les maxterms de la fonction. La figure suivante montre la table de Karnaugh à maxterms d'une fonction ayant deux variables d'entrée.

Table de Karnaugh à maxterms d'une fonction ayant deux variables d'entrée :

Sur cette table de Karnaugh à maxterms, vous remarquez que chaque case est adjacente logiquement à ses cases voisines à l'horizontale et à la verticale.

L'expression du maxterm correspondant à chaque case ne diffère, en effet, de celle du maxterm de la case voisine, à la verticale ou à l'horizontale, que d'une seule variable.

Par exemple, la case du maxterm  ne diffère de celle du maxterm  que d'une seule variable. Même chose, pour la case du maxterm  qui ne diffère de M0 que de la variable a.

La figures suivantes montrent les tables de Karnaugh à maxterms d'une fonction logique F ayant respectivement trois variables d'entrée et quatre variables d'entrée.

Table de Karnaugh à maxterms d'une fonction ayant trois variables d'entrée :

Table de Karnaugh à maxterms d'une fonction ayant quatre variables d'entrée :

Simplification par groupements des 0 dans une table de Karnaugh à maxterms :

La simplification d'une table de Karnaugh à maxterms s'effectue selon le même principe que celui utilisé pour la simplification de la table de Karnaugh à minterms sauf que cette fois on s'intéresse aux groupements des 0 au lieu des groupements des 1.

Des exemples vous permettront de mieux maîtriser cette méthode.

Exemple 1 de simplification par groupements des 0 dans une table de Karnaugh à maxterms

La figure suivante montre une table de Karnaugh d'une fonction ayant deux variables d'entrée a et b. Cette fonction vaut 0 pour le maxterm M0 et pour le maxterm M1. Dans les autres cas, cette fonction vaut 1.

Table de Karnaugh à maxterms de la fonction F :

Le groupement des cases ou F vaut 0 correspond aux cases des maxterms  et . Dans ce groupement, la variable est présente ainsi que sa négation et l'expression de la fonction F peut alors être simplifiée. F sera donc égale à a.

Exemple 2 de simplification par groupements des 0 dans une table de Karnaugh à maxterms :

La figure suivante montre la table de Karnaugh à maxterms d'une fonction F ayant trois variables a, b et c. Cette fonction vaut 0 pour les maxterms  et  et elle vaut 1 pour toutes les autres combinaisons.

Table de Karnaugh à maxterms d'une fonction F ayant trois variables d'entrée :

Le groupement des cases des minterms M2 et M3 conduit à la simplification de l'expression de la fonction F.

En effet, dans ce groupement la variable c est présente sous sa forme directe et sous sa forme complémentée. Elle est alors éliminée de l'expression.

La fonction F s'écrit alors comme : .

Exemple 3 de simplification par groupements des 0 dans une table de Karnaugh à maxterms

La figure suivante montre la table de Karnaugh à maxterms d'une fonction F ayant quatre variables d'entrée a, b, c et d. Cette fonction vaut 0 pour les maxterms  et .

Table de Karnaugh à maxterms d'une fonction ayant quatre variables d'entrée :

Le groupement des cases où la fonction vaut 0 permet de simplifier l'expression de cette fonction. En effet, dans ce groupement, la variable C change de forme. Elle est présente sous sa forme directe dans l'expression de M13 et sous sa forme complémentée dans l'expression de M15.

Par conséquent, elle est éliminée de l'expression de F qui s'écrit alors comme : .

Vous remarquez dans ces trois exemples que la fonction logique présente moins de 0 que de 1. C'est pour cette raison qu'il a été plus avantageux de simplifier son expression en utilisant les groupements des 0.

D'ailleurs, les groupements des 0 seront utilisés seulement dans les cas où une fonction logique présente beaucoup de 1 et peu de 0. L'expression simplifiée sera alors de la forme "P.O.S." puisque les groupements correspondent aux maxterms de la fonction.

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