Construction de la table de vérité (2) - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Construction de la table de vérité (2)

1. Expression sous la forme "S.O.P."

Chaque minterm est associé à une combinaison unique des variables indépendantes de la fonction logique.

Une fonction logique peut valoir 1 pour plusieurs combinaisons des variables indépendantes. Pour écrire l'expression de la fonction, il suffit alors d'effectuer la somme logique de tous les minterms dont le résultat de la fonction est égal à 1.

Forme "S.O.P." : fonction à deux variables d'entrée

Le tableau de la figure suivante présente la table de vérité d'une fonction logique F à deux variables d'entrée a et b.

Expression d'une fonction à deux variables d'entrée sous la forme "S.O.P." :

Variables

a b Minterms associés
Valeur de F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Cette fonction vaut 1 quand a et b sont tous les deux égales à 0 ou tous les deux à 1. A partir de la table de vérité, on peut lire que la fonction F est égale à 1 pour les minterms m0 et m3, F s'écrit alors :

2. Forme "S.O.P." : fonction à trois variables d'entrée

On veut contrôler le départ d'une course. Trois contrôleurs a, b et c sont responsables du départ. Le départ a lieu si au moins deux contrôleurs sont prêts. Les états de préparation des contrôleurs sont donc les variables indépendantes et le départ est la sortie de la fonction.

La figure suivante montre la table de vérité de la fonction "départ". Cette fonction vaut 1 si deux contrôleurs ou les trois sont prêts.

Expression d'une fonction à trois variables d'entrée sous la forme "S.O.P." :

Variables

a b c Minterms associés
Départ
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

A partir de cette table de vérité, la fonction F s'écrit : .

Donc : .

3. Forme "S.O.P." : fonction à quatre variables d'entrée

En référence à l'exemple précédent, supposez maintenant que quatre contrôleurs a, b, c et d sont chargés de donner le dé part de la course. Le départ a lieu si au moins trois contrôleurs sont prêts. La figure suivante présente la table de vérité de la fonction "départ". Le départ a donc lieu si trois contrôleurs sont prêts ou les quatre à la fois.

A partir de la table de vérité, on peut dire que :

Donc :

Expression d'une fonction logique à quatre variables d'entrée sous la forme "S.O.P." :

Variables

a b c d Minterms associés
Départ
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1

 

4. Forme "produit de sommes" : Maxterm

Un maxterm est une addition logique "OU" de toutes les variables indépendantes d'une fonction logique. A chaque ligne d'une table de vérité correspond donc un maxterm, ce qui fait qu'il y a autant de maxterms que de combinaisons possibles dans la table de vérité d'une fonction logique.

Quand la variable est à l'état logique 0, elle est remplacée par son nom. Quand elle est à l'état logique 1, elle est remplacée par sa négation. C'est l'inverse des minterms.

Par exemple, à la première ligne d'une table de vérité d'une fonction à deux variables, le maxterm associé est égal à a + b, car a = 0 et b = 0. Le maxterm s'écrit alors a OU b. Dans l'écriture des expressions logiques des maxterms, les états logiques des variables sont inversés.

Les maxterms de la table de vérité d'une fonction logique sont notés par la lettre "M" avec un indice correspondant à la valeur décimale de la séquence du maxterm.

Des exemples présentent les maxterms associés à des tables de vérité à deux, trois et quatre variables indépendantes.

Maxterm : fonction à deux variables d'entrée :

Pour une fonction F à deux variables d'entrée a et b, les combinaisons possibles et les maxterms associés sont donnés au tableau de la figure suivante.

Maxterms d'une fonction logique à deux variables d'entrée :

Variables

a b Séquence binaire
Valeur décimale
Maxterms
0 0 00 0
0 1 01 1
1 0 10 2
1 1 11 3

Vous remarquez que les maxterms sont au nombre des combinaisons possibles, soit quatre : M0 à M3.

Maxterm : fonction à trois variables d'entrée :

Le tableau de la figure suivante présente les maxterms associés à chaque ligne d'une table de vérité d'une fonction à trois variables d'entrée a, b et c.

Maxterms d'une fonction logique à trois variables d'entrée :

Variables

a b c Séquence binaire
Valeur décimale
Maxterms
0 0 0 000 0
0 0 1 001 1
0 1 0 010 2
0 1 1 011 3
1 0 0 100 4
1 0 1 101 5
1 1 0 110 6
1 1 1 111 7

Avec trois variables, il y a 23 = 8 combinaisons possibles. A chaque combinaison correspond un maxterm. Lorsque la variable est à l'état logique 0, elle est remplacée par son nom et quand elle est à l'état logique 1, elle est remplacée par sa négation.

Maxterm : fonction à quatre variables d'entrée :

Avec quatre variables d'entrée, il y a 24 = 16 combinaisons possibles. Ces combinaisons et leurs maxterms associés sont donnés au tableau de la figure suivante.

Maxterms d'une fonction logique à quatre variables d'entrée :

Variables

a b c d Séquence binaire
Valeur décimale
Maxterms
0 0 0 0 0000 0
0 0 0 1 0001 1
0 0 1 0 0010 2
0 0 1 1 0011 3
0 1 0 0 0100 4
0 1 0 1 0101 5
0 1 1 0 0110 6
0 1 1 1 0111 7
1 0 0 0 1000 8
1 0 0 1 1001 9
1 0 1 0 1010 10
1 0 1 1 1011 11
1 1 0 0 1100 12
1 1 0 1 1101 13
1 1 1 0 1110 14
1 1 1 1 1111 15

 

5. Expression sous la forme "P.O.S."

Chaque maxterm est associé à une combinaison unique des variables d'entrée d'une fonction logique. Cette fonction logique peut valoir 0 pour plusieurs combinaisons des variables d'entrée.

Pour écrire l'expression de la fonction logique, il suffit alors de multiplier tous les maxterms pour lesquels la fonction vaut 0.

L'expression obtenue est de la forme "P.O.S." puisque les maxterms sont des sommes logiques des variables d'entrée.

Forme "P.O.S." : fonction à deux variables d'entrée

Le tableau de la figure suivante présente la table de vérité d'une fonction logique F à deux variables d'entrée a et b.

Expression d'une fonction logique à deux variables d'entrée sous la forme "P.O.S." :

Variables

a b Maxterms
F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Cette fonction vaut 0 quand les deux variables d'entrée a et b sont à l'état logique 0. Pour les autres combinaisons, elle vaut 1.

On peut dire alors que la fonction F est égale au maxterm M0 = (a + b). Cette fonction s'écrit : F = M0 = a + b. Vous retrouvez l'expression logique de l'opérateur "OU".

Forme "P.O.S." : fonction à trois variables d'entrée :

Le tableau de la figure suivante présente la table de vérité d'une fonction logique F à trois variables d'entrée a, b et c. Cette fonction vaut 0 pour les combinaisons (010) et (110) des variables a, b et c.

Expression d'une fonction logique à trois variables d'entrée sous la forme "P.O.S." :

Variables

a b c Maxterms
F
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

L'expression de cette fonction peut s'écrire sous la forme de produits des maxterms M2 et M6 :

Avec : et .

Donc : .

Forme "P.O.S." : fonction à quatre variables d'entrée :

Le tableau de la figure suivante présente la table de vérité d'une fonction logique à quatre variables d'entrée a, b, c et d. A partir de la table de vérité de cette fonction, l'expression s'écrit comme : .

Expression d'une fonction logique à quatre variables d'entrée sous la forme "P.O.S." :

Variables

a b c d Maxterms
F
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1

 

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