Construction de la table de vérité (1) - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Construction de la table de vérité (1)

Dans l'étude sur la logique booléenne, vous avez vu des exemples de tables de vérité pour les opérateurs logiques de base. La table de vérité est une compilation sous la forme d'un tableau de tous les états logiques de la sortie en fonction des états logiques des entrées.

Les étapes à suivre pour construire une table de vérité sont les suivantes :

- Écrire sur une première ligne le nom des variables d'entrée et de la variable de sortie ;

Diviser le tableau en un nombre de colonnes égal au total des entrées et de la sortie. Ainsi, la table de vérité d'une fonction logique à deux entrées aura trois colonnes (deux pour les entrées et une pour la sortie) ;

Déterminer le nombre de combinaisons possibles à l'aide des variables d'entrées. Ce nombre est égal à deux exposant le nombre d'entrées. Par exemple, avec trois entrées, il y aura 23 = 8 combinaisons possibles ;

Tracer des lignes horizontales dont le nombre est égal au nombre de combinaisons possibles. Chaque ligne correspond alors à une combinaison et à une seule des variables d'entrée ;

Complétez chaque ligne par une combinaison possible des variables d'entrée. La meilleure manière d'énumérer toutes les combinaisons sans se tromper est de compter en binaire ;

- Inscrire dans la colonne "sortie" la valeur de la fonction pour chaque combinaison. Les exemples suivants vous aideront à mieux maîtriser cette méthode.

1. Table de vérité d'une fonction à deux variables d'entrée

Soit une fonction logique F de deux variables booléennes a et b. La sortie est à l'état logique 1 quand une et uniquement une seule variable d'entrée est à l'état logique 1.

La figure suivante présente la table de vérité de cette fonction.

Table de vérité d'une fonction F à deux variables d'entrée :

a
b
F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Vous remarquez que cette table de vérité est composée de trois colonnes (deux pour les entrées et une pour la sortie) et de cinq lignes.

Sur la première ligne sont inscrits les noms des variables d'entrées a et b et la sortie.

Les quatre combinaisons possibles des entrées a et b sont inscrites sur les quatre lignes suivantes. Ces combinaisons sont inscrites dans l'ordre de comptage en binaire soit (00), (01), (10) et (11).

L'état logique de la sortie est inscrit dans la colonne "sortie" en face de chaque combinaison possible. Quand a et b sont toutes les deux à l'état logique 0 ou à l'état logique 1, la fonction vaut 0 alors qu'elle est à l'état logique 1 quand a = 0 et b = 1 ou quand a = 1 et b = 0.

Table de vérité d'une fonction à trois variables d'entrée

Soit une fonction logique F à trois variables d'entrée a, b et c. La sortie de cette fonction logique est à l'état logique 1 si uniquement deux variables d'entrées sont à l'état logique 1. La table de vérité de cette fonction est donnée à la figure suivante.

 Table de vérité d'une fonction F à trois variables d'entrée :

a
b
c
F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

Dans cette figure, vous remarquez qu'avec trois variables d'entrées, il y a 23 = 8 combinaisons possibles. Ces combinaisons sont énumérées selon la manière de compter en binaire avec 3 bits. On obtient dans l'ordre : (000), (001), (010), (011), (100), (101), (110) et (111).

Les variables d'entrée sont représentées sous la forme de trios où le poids le plus fort correspond à a alors que c a le poids le plus faible. La sortie est à l'état logique 1 quand seulement deux entrées sont à l'état logique 1. Elle est à l'état logique 0 pour toutes les autres possibilités.

Sur l'ensemble des combinaisons possibles, trois possibilités donnent lieu à des cas où uniquement deux variables sont à l'état logique 1, ces possibilités sont les suivantes :

- b = 1 et c = 1 avec a = 0, séquence (011),

- a = 1 et c = 1 avec b = 0, séquence (101),

- a = 1 et b = 1 avec c = 0, séquence (110).

2. Table de vérité d'une fonction à quatre variables d'entrée

Soit une fonction logique F qui dépend de quatre variables d'entrée a, b, c et d. Avec les quatre variables, il y a 24 = 16 combinaisons possibles. La sortie sera à l'état logique 1 si au moins trois variables d'entrée sont à l'état logique 1.

On commence par construire la table de vérité de cette fonction comme le montre le tableau de la figure suivante.

En considérant a comme la variable du poids le plus fort et d celle dont le poids est le plus faible, les seize combinaisons possibles des variables a, b, c et d correspondent alors dans l'ordre à : (0000), (0001), (0010), (0011), (0100), (0101), (0110), (0111), (1000), (1001), (1010), (1011), (1100), (1101), (1110) et (1111).

Table de vérité d'une fonction F à quatre variables d'entrée :

a
b
c
d
F
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1

A ce stade, il est possible de déterminer les combinaisons pour lesquelles la sortie est à l'état logique 1, c'est-à-dire quand au moins trois variables d'entrée sont à l'état logique 1.

Il y a cinq possibilités où trois variables ou plus sont à l'état logique 1. Ces possibilités sont les suivantes :

- a = 0, b = 1, c = 1 et d = 1, séquence (0111) ;

- a = 1, b = 0, c = 1 et d = 1, séquence (1011) ;

- a = 1, b = 1, c = 0 et d = 1, séquence (1101) ;

- a = 1, b = 1, c = 1 et d = 0, séquence (1110) ;

- a = 1, b = 1, c = 1 et d = 1, séquence (1111).

La table de vérité est alors complétée en inscrivant 1 comme valeur de la sortie vis-à-vis de chacune de ces cinq possibilités.

3. Forme "somme de produits" : Minterm

Chaque ligne de la table de vérité d'une fonction correspond à une séquence représentant les états logiques des variables indé pendantes de la fonction.

Le minterm est le produit logique "ET" de tous les états logiques. Pour une fonction logique, il existe alors autant de minterms que de combinaisons possibles de variables indépendantes.

Lorsqu'une variable est à l'état logique 1, elle est remplacée par son nom et quand elle est à l'état logique 0, elle est remplacée par sa négation.

Par exemple, la première ligne de la table de vérité d'une fonction F de deux variables indépendantes a et b est représentée par la séquence binaire (00) soit a = 0, b = 0. Le minterm associé à cette ligne est alors , ce qui veut dire que pour cette ligne a = 0 ET b = 0.

Les minterms de la table de vérité d'une fonction logique sont notés par la lettre "m" et un indice correspondant à la valeur décimale de la séquence du minterm. Des exemples vous montrent les minterms associés à des fonctions logiques à 2, 3 et 4 variables indépendantes.

Minterm : fonction à deux variables d'entrée :

Soit une fonction logique "F" à deux variables d'entrée a et b. Le tableau de la figure suivante présente les combinaisons possibles et les minterms associé "s" à chaque séquence lorsque la variable a correspond au poids le plus fort.

Minterms d'une fonction logique à deux variables d'entrée :

Variables

a b Séquence binaire
Valeur décimale
Minterms
0 0 00 0
0 1 01 1
1 0 10 2
1 1 11 3

L'équivalent décimal de chaque séquence binaire de chaque combinaison représente l'indice du minterm associé. La valeur booléenne du minterm est alors égale au produit logique des variables booléennes.

Minterm : fonction à trois variables d'entrée :

Le tableau de la figure suivante présente les minterms associés à une fonction logique à trois variables d'entrée a, b et c.

Minterms d'une fonction logique à trois variables d'entrée :

Variables

a b c Séquence binaire
Valeur décimale
Minterms
0 0 0 000 0
0 0 1 001 1
0 1 0 010 2
0 1 1 011 3
1 0 0 100 4
1 0 1 101 5
1 1 0 110 6
1 1 1 111 7

Vous remarquez qu'il y a huit combinaisons possibles et qu'un minterm est associé à chacune de ces combinaisons. Dans l'expression logique du minterm, chaque variable est remplacée par son nom quand elle est à l'état logique 1 et par sa négation quand elle est à l'état logique 0.

Minterm : fonction à quatre variables d'entrée :

Pour une fonction logique à quatre variables d'entrée a, b, c et d, les minterms associés à cette fonction sont au nombre de 16 et ils sont pré sentés dans le tableau de la figure suivante.

Minterms d'une fonction logique à quatre variables d'entrée :

Variables

a b c d Séquence binaire
Valeur décimale
Minterms
0 0 0 0 0000 0
0 0 0 1 0001 1
0 0 1 0 0010 2
0 0 1 1 0011 3
0 1 0 0 0100 4
0 1 0 1 0101 5
1 1 1 0 0110 6
1 1 1 1 0111 7
1 0 0 0 1000 8
1 0 0 1 1001 9
1 0 1 0 1010 10
1 0 1 1 1011 11
1 1 0 0 1100 12
1 1 0 1 1101 13
1 1 1 0 1110 14
1 1 1 1 1111 15

 

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