Calcul mental - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Calcul mental

1. Addition
a. Addition de deux entiers
Pour faire une addition, il faut remplacer un des termes par un nombre plus facile à additionner, puis ajuster le résultat.

Ex. : 45 + 98
98 = 100 – 2, on peut facilement ajouter 100, puis soustraire 2



On peut procéder ainsi avec les dizaines, les centaines, les milliers, …

Ex. : 173 + 1269
Le plus simple est de remplacer 173 par 200 – 27, puis 27 par 30 – 3

On calcule donc en remplaçant 173 par 200 – (30 – 3), c’est-à-dire par 200 – 30 + 3

b. Addition de plus de deux entiers
Si l’on est face à une addition à plus de deux termes, il faut regrouper les termes les plus simples à additionner.

Ex. : 27 + 345 + 103
On remarque que 7 + 3 = 10, il faut donc commencer par additionner 27 et 103 en utilisant la méthode décrite ci-dessus.

 

On peut ensuite finir l’addition :
27 + 345 + 103 = 30 + 100 + 345

En appliquant de nouveau la méthode de décomposition, on obtient :


Ex. : 48 + 134 + 43 + 28 + 59
Dans cet exemple, il n’y a pas d’addition partielle simple. Il faut donc modifier un des termes et l’additionner avec un autre :
48 = 50 – 2

48 + 134 = 134 + 50 – 2
               =      184 – 2
               =         182

On modifie un autre terme, puis on l’ajoute, et ainsi de suite...
59 = 60 – 1

182 + 59 = 182 + 60 – 1
               =       242 – 1
               =         241

28 = 30 – 2

241 + 28 = 241 + 30 – 2
               =       271 – 2
               =           269

43 = 40 + 3

269 + 43 = 269 + 40 + 3
               =      309 + 3
               =          312

48 + 134 + 43 + 28 + 59 = (50-2) + 134 + (40+3) + (30-2) + (60-1) = 312

Il est prudent de vérifier son résultat par une autre méthode qui se rapproche du calcul posé :
48 + 134 + 43 + 28 + 59

On calcule
• d’abord le nombre d'unités : 8 + 4 + 3 + 8 + 9 = 32
Cela donne 3 dizaines et 2 unités ;
• puis le nombre de dizaines : 4 + 3 + 4 + 2 + 5 = 18, auquel on ajoute le nombre de dizaines de l’addition précédente : 18 + 3 = 21, soit 2 centaines et 1 dizaine ;
• puis le nombre de centaines : 1 auquel on ajoute le nombre de centaines de l’addition précédente : 1 + 2 = 3 ;
On obtient 312.

En combinant ces deux méthodes, il est simple de calculer toutes les additions.
c. Addition d’entiers et de décimaux
La méthode consiste à laisser de côté, dans un premier temps, les parties décimales, pour se consacrer aux parties entières.

Exemple : 53,6 + 14 + 23,7
On calcule d’abord :

 

Ensuite on calcule les décimales : 6 + 7 = 13  -> 0,6 + 0,7 = 1,3
D’où 90 + 1,3 = 91,3
2. Soustraction
Le principe est le même que pour l’addition. Il faut transformer les termes de la soustraction en termes simples.
142,7 – 97,4 : dans un premier temps, on ne s'occupe pas des décimales.

On calcule donc 142 – 97
On commence par transformer 97 en 100 – 3

142 – 97 = 142 – (100 – 3) 
               = 142 – 100 + 3 
               =       42   +   3
               =              45

Ensuite, on réintègre les décimales : 0,7 – 0,4 = 0,3
142,7 – 97,4 = 45,3


Il y a une difficulté supplémentaire lorsque les décimales soustraites sont supérieures aux décimales d’origine :
142,4 – 97,7 
On calcule 142 – 97 = 45
puis
0,4 – 0,7 = 0,4 – (1 – 0,3)
               = 0,4 - 1 + 0,3
               = -1 + 0,7

On réintègre les décimales : 45 – 1 + 0,7 = 44,7
3. Multiplication
Il est impératif de connaître ses tables de multiplication.
Comme pour l’addition, il faut décomposer les nombres.
a. Multiplication de deux nombres
• 15 x 23 = 10 x 23 + 5 x 23

On calcule 10 x 23 = 230
puis 5 x 23 = 115 (5 est la moitié de 10, 10 x 23 = 230, donc le résultat de 5 x 23 est la moitié de 230, soit 115).

15 x 23 = 230 + 115 = 345

• 142 x 74 = 142 x (70 + 4)
Dans un premier temps, on calcule :
142 x 7 = 100 x 7 + 40 x 7 + 2 x 7
             =   700   +   280   +  14
             =                994

donc 142 x 70 = 9940

Puis on calcule 142 x 4 = 284 x 2 = 568
Enfin, on additionne les deux chiffres obtenus :
9 940 + 568 = 10 000 – 60 + 568
                    = 10 508


Repères

Technique simple pour calculer rapidement le prix en francs à partir du prix en euros :
le plus simple est de considérer qu’un euro est égal à 6,6 francs au lieu de 6,55957. L’intérêt de cette valeur approchée par excès est de ne faire qu’une seule fois la multiplication par 6. On sait que le résultat obtenu sera très légèrement supérieur à la vraie valeur.

14 euros = 14 x 6,6
14 x 6 = 84
14 x 0,6 = 8,4
14 x 6,6 = 92,4

Pour pouvoir comparer, calculons 14 x 6,55957 = 91,83398
Ce qui ne fait qu’une différence de 0,56602, valeur négligeable par rapport à 92,4

b. Multiplication de plus de deux nombres
Pour résoudre une multiplication de plus de deux nombres, il faut procéder par étape :
12 x 45 x 6 = (12 x 6) x 45
                  = 72 x 45

Ensuite, on applique la technique vue plus haut :
72 x 45 = 72 x 90 : 2
             = 6 480 : 2
             = 3 240

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