Algèbre (2) - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Algèbre (2)

1. Equations du premier degré à une variable : Problème 1

La résolution d'équations est une notion très importante en mathématiques. Les équations sont parfois plus complexes que les précédentes.

Par exemple, comment résoudre l'équation qui suit ?

3 (2x + 4) = 8x - 8 + 4.

Il faut alors procéder en suivant les étapes suivantes :

  • réduire à leur plus simple expression, si nécessaire, les expressions algébriques de chaque membre de l'équation ;
  • regrouper les termes contenant la variable dans l'un des membres de l'équation et les autres termes dans l'autre membre en utilisant la loi de transposition ;
  • additionner ou soustraire les termes semblables dans chaque membre de l'équation ;
  • isoler la variable en appliquant les propriétés de la multiplication ou de la division ;
  • résoudre l'équation ;
  • vérifier la solution en substituant la valeur numérique à la variable dans l'expression de départ.
Problème: Reprenons une à une les étapes décrites plus haut et appliquons-les à la solution de l'équation :

3 (2x + 4) = 8x - 8 + 4

1. Réduction des expressions algébriques

Appliquons la propriété de la distributivité de la multiplication sur l'addition dans le membre de gauche de l'équation et additionnons les termes semblables dans le membre de droite de l'équation :

Ainsi, l'équation 3 (2x + 4) = 8x - 8 + 4

Devient 6x + 12 = 8x - 4

2. Regroupement de termes semblables

Dans l'équation 6x + 12 = 8x - 4 on retrouve, dans les deux membres de l'équation, un terme contenant la variable et un terme constant.

Il faut donc transposer les termes contenant la variable dans un membre et les termes constants dans l'autre membre.

Généralement, on place les termes contenant la variable dans le membre de gauche.

En appliquant les règles de la transposition, on obtient :

6x + 12 = 8x - 4

6x = 8x - 4 - 12

6x - 8x = - 4 - 12

3. Addition des termes semblables

6x - 8x = - 4 - 12 devient - 2x = - 16

4. Isolement de variable

En appliquant la loi de transposition, on obtient :

- 2x = - 16

x = 

x = 8

5. Vérification des résultats

Pour vérifier la solution, il suffit de remplacer la variable de l'équation initiale par sa valeur numérique puis d'effectuer les calculs afin de voir si l'on obtient une égalité. Vérifions la solution :

x = 8

Soit l'équation donnée :

3 (2x + 4) = 8x - 8 + 4

Remplaçons x par 8 :

3 (2  8 + 4) = 8  8 - 8 + 4

3 (16 + 4) = 64 - 8 + 4

3 (20) = 60

60 = 60

La solution est effectivement 8.

 

Il est possible que la solution d'une équation algébrique soit indéterminée, ou encore, qu'il n'existe aucune solution. Par exemple, si en isolant la variable x, on obtient : 0x + 5 = 5, n'importe quelle valeur peut remplacer la variable x.

On dit alors que la solution est indéterminée.

Cependant, si en isolant cette variable, on obtient 0x = 5, l'équation ne possédera aucune solution, puisqu'on ne peut diviser un nombre par 0.

 

2. Equations du premier degré à une variable : Problème 2
Par exemple, comment résoudre l'équation qui suit ?

x - 2 = x + 7.

Il faut alors procéder en suivant les étapes suivantes :

  • réduire à leur plus simple expression, si nécessaire, les expressions algébriques de chaque membre de l'équation ;
  • regrouper les termes contenant la variable dans l'un des membres de l'équation et les autres termes dans l'autre membre en utilisant la loi de transposition ;
  • additionner ou soustraire les termes semblables dans chaque membre de l'équation ;
  • isoler la variable en appliquant les propriétés de la multiplication ou de la division ;
  • résoudre l'équation ;
  • vérifier la solution en substituant la valeur numérique à la variable dans l'expression de départ.
Problème: Résolvez l'équation suivante, et vérifiez la solution.

x - 2 = x + 7

1. Transposition des termes

x - x = 7 + 2

2. Opérations sur les termes semblables

x - x = 9

x = 9

3. Isolement de la variable

x = 9

x = 3

4. Vérification de la solution

 30 - 2 =  30 + 7

- 2 = + 7

18 - 2 = 9 + 7

16 = 16

La solution est effectivement 30.

 

Pour trouver la solution d'une équation, on doit toujours rendre le coefficient de la variable positif. Lorsqu'on change le signe de tous les termes de l'équation, la solution reste la même.

Si l'on obtient - x = 18, il faut multiplier chaque membre par 21 afin d'obtenir donc, x = 218.

 

3. Résolution d'équations du premier degré à deux variables

En mécanique industrielle, il arrive souvent que l'on doive substituer des données dans des formules de calcul.

L'exemple suivant met en relief les étapes de résolution de ce type de problème.

Problème: Résolvez le système d'équations suivant.

a) 7x - 3y = 10

b) 5x - 2y = 8

1. Isolement d'une variable en fonction d'une autre

La première étape de la résolution de ce type de problème consiste à isoler une variable en fonction de l'autre dans une seule des équations du système. Prenons donc la deuxième équation et isolons y :

5x - 2y = 8

- 2y = - 5x + 8

2y = 5x - 8

y =

2. Substitution de la variable y

Substituons maintenant l'expression obtenue à l'étape 7, à la variable y dans l'autre équation. (Cela permet d'obtenir une équation à une seule variable).

7x - 3y = 10

7x - 3 = 10

3. Résolution de l'équation

Il ne reste plus qu'à résoudre l'équation obtenue :

7x -  = 10

 = 10

14x - 15x + 24 = 10

- x = 20 - 24

- x = - 4

x = 4

4. Substitution de la valeur de la variable x

Substituons maintenant la valeur de la variable x obtenue à l'étape 3 dans l'équation 3 pour déterminer la valeur de y :

y =

y =

y =  = 6

y =  = 6

5. Vérification des résultats

Remplaçons les valeurs déterminées (x = 4 et y = 6) dans chacune des équations de départ :

7x - 3y = 10

5x - 2y = 8

7 (4) - 3 (6) = 10 5 (4) - 2 (6) = 8

28 - 18 = 10

20 - 12 = 8

10 = 10

8 = 8

Dans ce système d'équations, la solution est donc la suivante :

x = 4 et y = 6

A la lumière de l'exemple précédent, vous aurez compris que substituer signifie remplacer une chose par une autre pour lui faire jouer le même rôle.

Dans la deuxième étape de l'exemple, la variable a été remplacée par son expression équivalente, soit .

Cette substitution a permis d'exprimer la variable y en fonction de x. Ainsi, il a été possible de transformer l'équation à deux variables en une équation comportant une seule variable.

Pour résoudre un système d'équations du premier degré à deux variables par la méthode de substitution, on doit :

  • isoler, dans une seule des deux équations du système, une variable afin de l'exprimer en fonction de l'autre ;
  • substituer l'expression ainsi obtenue à cette variable dans l'autre équation du système ;
  • résoudre cette équation à une variable ;
  • substituer cette valeur dans l'équation obtenue à la première étape ;
  • vérifier la solution dans chacune des équations d'origine.

Pour déterminer la valeur de deux variables différentes, il est nécessaire de connaître au moins deux équations les utilisant.

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