Algèbre (1) - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Algèbre (1)

Depuis l'Antiquité, les êtres humains s'efforcent de résoudre des problèmes comportant un nombre inconnu.

Le mot "algèbre" vient du titre d'un traité de mathématiques écrit en 825 : Al-jabr w'al-muqabalah, c'est-à-dire l'art d'assembler des inconnues pour les rendre égales à une quantité connue ou règles de transposition et de réduction. Al-jabr (assembler) est devenu algèbre.
Dans l'algèbre moderne, on représente les nombres inconnus par des lettres, qu'on appelle variables.

Dans cette étude, vous retrouverez un rappel sur les notions fondamentales d'algèbre:

  • réduction d'expressions algébriques,
  • la résolution d'équations du premier degré à une variable;
  • puis la résolution d'équations du premier degré à deux variables.
1. Réduction d'expressions algébriques

Avant de résoudre une expression algébrique, il est nécessaire de la réduire à sa plus simple expression.

Pour y arriver, il faut développer l'expression autant que possible, c'est-à-dire appliquer les opérations de base sur les termes communs.

Addition des termes d'une expression algébrique

Pour additionner les termes d'une expression algébrique, on doit :

  • regrouper les termes semblables ;
  • additionner les coefficients numériques de ces termes en conservant les mêmes variables.

Ainsi :

8ac + 3ac + ac = (8 + 3 + 1) ac = 12ac

et

3x + 2y + 5x + 8y + 6 = (3x + 5x) + (2y + 8y) + 6 = 8x + 10y + 6


On regroupe généralement les termes semblables en plaçant les variables selon l'ordre alphabétique, les termes constants (sans variable) se trouvant à la fin.

Soustraction des termes d'une expression algébrique

Dans une expression algébrique ,la soustraction s'effectue de la même façon que dans l'addition. Ainsi, il faut :

  • regrouper les termes semblables ;
  • soustraire les coefficients numériques de ces termes en conservant les mêmes variables.

Voici un exemple de soustraction de termes dans une expression algébrique.

Problème

Effectuez les opérations suivantes :- z - 4xz + 1/2z - xz

1. Regroupement des termes semblables

Regroupons d'abord les termes semblables :

- 4xz - xz + - z + 1/2z

2. Soustraction des termes semblables

- 5xz + +

- 5xz - z

Il ne faut pas oublier de placer les fractions sur un dénominateur commun pour additionner ou soustraire des termes semblables.

Expressions algébriques à plusieurs variables

Pour réduire certaines expressions algébriques à deux ou plusieurs variables, il peut être nécessaire d'utiliser la propriété de distributivité de la multiplication. L'exemple suivant représente un tel cas.

Problème: Réduire l'expression 3a - (- 4a + 2).

1. Suppression des parenthèses

Supprimons les parenthèses en appliquant la distributivité, car - 1 est sous-entendu devant celle-ci.

3a - 1 (- 4a + 2) = 3a + 4a - 2

2. Addition des termes semblables

Regroupons et additionnons les termes semblables.

3a + 4a - 2 = 7a - 2

Equations du premier degré à une variable : définition

Une équation du premier degré à une variable est une équation dans laquelle la seule variable présente est élevée à la puissance 1.

Exemples de ce type d'équation :

y + 4 = 5

2x + 250 = 500

  • Chaque expression algébrique située de part et d'autre du signe d'égalité (=) se nomme membre de l'équation.
  • Une équation se compose donc de deux membres.

Il est possible d'additionner, de soustraire, de multiplier ou de diviser chaque membre d'une équation par un même nombre sans changer l'égalité de l'équation. On dit alors que les équations sont équivalentes.

 

2. Exemples de chacun de ces cas

Propriété de l'addition :

Soit l'égalité 4 = 4 et l'équation x - 1 = 6

En ajoutant 1 à chaque membre de l'égalité ou de l'équation, nous obtenons :

4 + 1 = 4 + 1

x - 1 + 1 = 6 + 1

5 = 5

x = 7


L'addition d'une même quantité dans les deux membres d'une équation produit une équation équivalente.

Propriété de la soustraction

Soit l'égalité 4 = 4 et l'équation x + 3 = 7

En retranchant 3 de chaque membre de l'égalité ou de l'équation :

4 - 3 = 4 - 3

x + 3 - 3 = 7 - 3

1 = 1

x = 4


La soustraction d'une même quantité dans les deux membres d'une équation produit une équation équivalente.

Propriété de la multiplication

Soit 4 = 4 et = 4

En multipliant par 5 chaque membre de l'égalité ou de l'équation, nous obtenons :

4  5 = 5  4

20 = 20

x = 20

La multiplication des deux membres d'une équation par une même quantité produit une équation équivalente.

Propriété de la division

Soit 4 = 4 et 2x = 24

En divisant par 2 chaque membre de l'égalité ou de l'équation, nous obtenons :

4 ÷ 2 = 4 ÷ 2

x =

2 = 2

x = 12

La division des deux membres d'une équation par une même quantité (différente de 0) produit une équation équivalente.

Equations du premier degré à une variable : suite

Transposition de termes :

Il est possible de transposer directement un terme dans l'autre membre de l'équation en effectuant l'opération inverse.

Par exemple:

  • si le terme est additionné dans un terme, il doit être soustrait dans l'autre ;
  • ou encore, s'il est multiplié dans un terme, il doit être divisé dans l'autre terme.

L'exemple suivant vous permettra de constater que la transposition respecte les égalités entre les deux membres d'une équation algébrique.

y + 4 = 5.

Transposition :

y = 5 - 4

y + 4 - 4 = 5 - 4y = 1

y = 1

Les règles de la transposition représentent un raccourci intéressant pour isoler un variable dans une équation algébrique.

Isolement d'une variable

La conservation des proportions entre les deux termes d'une équation lorsqu'on effectue sur chacun la même opération sert à résoudre des équations, c'est-à-dire à calculer la valeur d'une variable.

Pour déterminer cette valeur, il faut d'abord isoler la variable de l'équation.

L'exemple qui suit montre comment procéder.

Problème: Résolvez l'équation qui suit :  = 4

1. Isolement de la variable

Pour isoler la variable x, nous devons transposer le nombre z dans l'autre membre de l'équation.

Si l'on applique la loi de transposition, l'équation devient :

x = 4  2

x = 8

2. Vérification

Vérifions si la valeur trouvée est exacte en remplaçant la variable x dans l'équation de départ par le nombre 8 :

 = 4

 = 4

4 = 4

 

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