Vibration d'une corde tendue entre deux points fixes, pincée ou frappée - Maxicours

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Vibration d'une corde tendue entre deux points fixes, pincée ou frappée

Objectifs : Une corde fixée entre deux points fixes vibre si on la soumet à des oscillations forcées ou oscille librement si on la pince ou on la frappe (cas de l’excitation d’une corde de piano ou de violon).
Comment une corde oscille-t-elle ?
Quels sont les modes de vibration d’une corde tendue ?
1. Oscillations forcées d’une corde tendue
a. Dispositif

Pour étudier les oscillations forcées d’une corde tendue, il faut utiliser un dispositif constitué de :

• un fil tendu entre deux points fixes : d’un côté, le fil est attaché à une lame, de l’autre côté, le fil est relié à une masse m par l’intermédiaire d’une poulie ;
• une lame reliée à un générateur basse fréquence (GBF) de fréquence réglable ;
• un stroboscope permettant d’observer les oscillations de la corde.

Lorsque le générateur basse fréquence est mis en route, la lame vibre à la fréquence f et transmet ses mouvements de vibration à la corde.
La fréquence de la tension sinusoïdale utilisée est égale à la fréquence transmise à la lame.
On augmente progressivement, à partir de la fréquence f = 1 Hz, la fréquence de vibration de la lame.
On observe la corde à l’aide du stroboscope.
Le stroboscope émet des éclairs régulièrement à la fréquence fe.

b. Mode fondamental
Pour une première fréquence, notée f1, la corde a l’allure suivante :

Ce mode de vibration est appelé mode propre de vibration. Il correspond au mode fondamental.
La corde est le siège d’un phénomène de résonance car l’amplitude du fuseau est supérieure à celle de la source excitatrice.

c. Modes harmoniques
Si on augmente ensuite progressivement la fréquence du GBF, on observe (à l’aide du stroboscope) qu'à des fréquences particulières d’excitation, la corde entre en résonance.
Ces fréquences sont les fréquences propres de la corde, qui sont toutes des multiples entiers de la fréquence du fondamental :
fn = n • f,   avec n entier.

Chaque fréquence propre correspond à un mode propre de vibration de la corde (car la vibration est sinusoïdale) : mode fondamental pour la fréquence f1, modes harmoniques de rang n pour les fréquences fn.
La corde (de longueur L) qui vibre à la fréquence fn présente n fuseaux identiques, de longueur n.

Sur la figure ci-dessus, le mode 2 correspond à une fréquence f2 = 2 f1.
Les points qui délimitent un fuseau sont les nœuds de vibration et les points pour lesquels l’amplitude de la vibration est maximale sont les ventres de vibration.
Pour le mode n, la corde présente n ventres et (n+1) nœuds, car il y a un nœud à chaque extrémité.

Au cours du temps, la corde est une sinusoïde d’amplitude variable, mais dont la position des nœuds et des ventres ne change pas.
2. Oscillations libres d’une corde tendue pincée ou frappée
a. Définition
Dans le cas des instruments de musique à cordes, la corde pincée (guitare), frottée (violon) ou frappée (piano) est libre de vibrer autour de sa position d’équilibre.

Lorsque la corde n’est plus soumise à une excitation sinusoïdale, mais oscille librement, elle produit un son (complexe) composé de sons purs (sinusoïdaux) dont les fréquences sont celles des modes propres.

Les fréquences des sons émis sont les mêmes que dans le cas où la corde était excitée et mise en résonance par le vibreur.

b. Analyse fréquentielle

L’analyse fréquentielle montre bien que toutes les fréquences sont des multiples de la plus petite, la fréquence du fondamental.
Tous les sons émis sont des combinaisons des sons correspondant aux modes propres.

La fréquence du son (complexe) émis est égale à celle du mode fondamental f1.

Les vibrations libres de la corde sont une superposition de ses modes propres de vibration.

c. Timbre et hauteur de la note émise

La position des doigts sur le sillet permet de régler la longueur de la partie vibrante de la corde et de modifier ainsi la fréquence du fondamental.
On agit ainsi sur la hauteur de la note émise.
Plus la fréquence est élevée, et plus le son est aigu.

La façon de pincer une corde de guitare modifie l’importance relative des harmoniques présents, sans modifier la fréquence du son. On agit ainsi sur le timbre de la note émise.

L’essentiel

Excitée périodiquement, une corde vibre et entre en résonance pour certaines fréquences, appelées fréquences propres.
Pincée ou frottée, la corde oscille librement en produisant un son complexe constitué des mêmes modes propres.

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