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Repérage dans l'espace

Sommaire : Repère orthonormal du plan - Repère orthonormal de l'espace
1. Repère orthonormal du plan
Trois points non alignés, O, I et J définissent un repère du plan.

Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et si OI = OJ = 1 unité, le repère (O, I, J) est orthonormal.

Tout point M du plan peut être repéré par deux coordonnées, son abscisse xM et son ordonnée yM .

 

2. Repère orthonormal de l'espace
a. Le repère
Quatre points, tous dans un plan différent, O, I, J, K définissent un repère de l'espace.
Si les droites (OI), (OJ) et (OK) sont perpendiculaires deux à deux et si OI = OJ = OK = 1 unité, le repère (O, I, J, K) est orthonormal.

Remarque :
Un « coin » de cube donne une bonne image de ce repère.

o (Ox), (Oy) et (Oz) sont les axes de coordonnées ;

o (xOy), (xOz) et (yOz) sont les plans de coordonnées ;

o Le plan (xOy) est dit « horizontal » ;

o Les plans (xOz) et (yOz) sont dits « verticaux ».

b. Coordonnées d'un point de l'espace

Un point M de l'espace est repéré par 3 coordonnées : son abscisse xM, son ordonnée yM et sa cote zM.

Pour lire les coordonnées d'un point M :

o projeter M sur le plan (xOy) en A (la droite (AM) est la perpendiculaire au plan (xOy) passant par M) ;

o tracer la droite (OA) ;

o tracer la parallèle à (OA) passant par M, elle coupe (Oz) en B.

La cote zM du point M est celle du point B.
L'abscisse xM et l'ordonnée yM du point M sont celles du point A dans le plan (xOy).

Ici, on lit que :
xM = 3 ; yM = 4 ; zM = 4 ;
M (3 ; 4 ; 4).

Exemple :

Les points N, R, Q, P et S sont situés dans des plans différents. Il est possible de définir leurs coordonnées respectives.

N est dans le plan (yOz). N (0 ; 2 ; 4).
R est dans le plan (xOz). R (1 ; 0 ; 3).
Q est dans le plan (xOy). Q (4 ; 1 ; 0).
P est sur l'axe (Oy). P (0 ; 4 ; 0).
S (3 ; 5 ; 3).

 

 

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