Loi de Bernoulli - Loi binomiale - Maxicours

Loi de Bernoulli - Loi binomiale

Objectifs :
- Savoir identifier une épreuve de Bernoulli et appliquer la loi de Bernoulli
- Connaître le schéma de Bernoulli
- Appliquer la loi binomiale

1. Loi de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli

Si une épreuve ne présente que deux issues ( = résultats) possibles, on l'appelle épreuve de Bernoulli. Les deux résultats sont appelés succès et échec.

Exemple

On choisit par hasard un élève du lycée L et on lui demande de répondre par "Oui" ou "Non" s'il va au moins une fois par mois au CDI. Le résultat de l'épreuve est la réponse de l'élève : "Oui" ou "Non". C'est une épreuve de Bernoulli.
Loi de Bernoulli

Soit une épreuve de Bernoulli et soient S et E les deux résultats possibles. On pose :


On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l'issue est S et la valeur 0 si l'issue est E.
X
1
0
Probabilité
p
q
Par définition, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.

L'espérance mathématique de X est E(X) = p et sa variance V(X) = pq.

Exemple

On choisit par hasard un élève du lycée L et on lui demande de répondre par "Oui" ou "Non" s'il va au moins une fois par mois au CDI. Une étude statistique a montré que la probabilité que l'élève réponde "Oui" est .

On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la réponse est "Oui" et la valeur 0, si elle est "Non".

La loi de probabilité de X est une loi de Bernoulli de paramètre .
2. Schéma de Bernoulli
Si une épreuve de Bernoulli est répétée plusieurs fois, à l'identique, et que les résultats des épreuves successives sont indépendants les uns des autres, on donne à la situation le nom de schéma de Bernoulli.

Exemple

On répète 10 fois, de façon indépendante, le choix au hasard d'un élève du lycée L et on demande à chacun d'eux de répondre par "Oui" ou "Non" s'il va au moins une fois par mois au CDI.
3. Loi binomiale
Soit une épreuve de Bernoulli et soit p la probabilité d'obtenir un succès (et donc q = 1 - p, la probabilité d'un échec).

Si l'épreuve est répétée n fois dans les conditions du schéma de Bernoulli, c'est-à-dire que les épreuves sont identiques et indépendantes, alors la probabilité d'obtenir k succès est :

La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès est appelée la loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi ne dépend que de n et de p.

L'espérance mathématique de x est E(X) = np et sa variance est V(X) = npq.

Exemple

On choisit par hasard un élève du lycée L et on lui demande de répondre par "Oui" ou "Non" s'il va au moins une fois par mois au CDI. Une étude statistique a montré que la probabilité que l'élève réponde "Oui" est . On répète 10 fois, de façon indépendante, le choix au hasard d'un élève du lycée L.

La probabilité que, parmi les élèves choisis, 6 élèves exactement se rendent au moins une fois par mois au CDI est environ égale à 0,069.

En effet, on appelle succès le fait que l'élève réponde "Oui", la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre k de succès est la loi binomiale de paramètres n = 10 et .

On cherche la probabilité d'obtenir 6 succès :

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