Les modes propres de vibration et quantification de leurs fréquences - Maxicours

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Les modes propres de vibration et quantification de leurs fréquences

Objectifs : Lorsqu’un système mécanique (corde, air) vibre, il est le siège de vibrations complexes constituées de plusieurs sons purs. La fréquence de ces sons, ainsi que leur nombre, dépend de plusieurs paramètres.
Quelle différence existe-t-il entre un son complexe et un son pur ?
Quels sont les modes de vibration d’un système ?
1. Définitions
a. Mode propre de vibration
La vibration de tous les points d’un système mécanique à une fréquence donnée est appelée mode propre de vibration.
La fréquence à laquelle le système vibre est appelée fréquence propre, notée f.
Elle s’exprime en hertz (symbole : Hz).
b. Ventres et nœuds de vibration

Lorsqu’un système mécanique vibre, les points oscillent autour de leur position d’équilibre avec des amplitudes différentes.
Certains points du système décrivent des oscillations dont l’amplitude est maximum. On les appelle des ventres de vibration.
Certains points du système ne sont pas en mouvement. On les appelle des noeuds de vibration.


Doc.1. Corde en vibration entre deux points fixes.

2. Mode fondamental et modes harmoniques

Lorsqu’une corde tendue entre deux points fixes vibre, ou lorsqu’une onde traverse l’air contenu dans un tuyau, les modes propres de vibration vérifient des conditions particulières.

a. Mode fondamental
Considérons un système mécanique qui entre en vibration. La vibration est complexe ; elle est composée de plusieurs vibrations de fréquences différentes.
Le mode propre correspondant à la fréquence la plus basse est appelé le mode fondamental.
La fréquence propre du fondamental est généralement notée f1.
La valeur de la fréquence propre f1 du fondamental dépend :
- pour une corde, de sa longueur, de sa tension, de sa composition ;
- pour une colonne d’air, de la longueur du tuyau, de la température et de la nature du gaz enfermé dans le tuyau.
b. Modes harmoniques
Les autres modes de vibration d’un système sont appelés les modes harmoniques.
La valeur de la fréquence fn d’un mode harmonique est un multiple entier de la valeur de la fréquence propre de vibration. On a :
fn = . f1,
avec n, un nombre entier tel que n > 1.
On dit que les fréquences propres sont quantifiées.
3. Son pur et son complexe
a. Définitions
Un son pur est un son sinusoïdal dont la fréquence est unique.
Un diapason émet un son pur dont la fréquence propre est généralement f1 = 440 Hz (la3).

Doc. 2. Période d'un son pur.

Un son complexe est un son périodique, constitué de plusieurs sons dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence f1 du son fondamental.
Le mathématicien Joseph Fourier a montré que tout signal périodique de fréquence f1 est la somme de plusieurs signaux sinusoïdaux de fréquence fn = . f1 et d’amplitudes a.
Doc. 3. Période d'un son complexe.

Tous les instruments de musique émettent des sons complexes. La richesse du son en harmoniques donne son timbre à l’instrument.
b. Spectre fréquentiel d’un son

On appelle spectre fréquentiel d’un son le graphique donnant l’amplitude des sons associés aux différentes fréquences constituant le son.


Doc. 4.a. Spectre d'un son pur ; b. Spectre d'un son complexe.

L’analyse du spectre fréquentiel d’un son pur (doc.4.a) montre qu’il est constitué d’une seule vibration de fréquence f1.
L’analyse du spectre fréquentiel d’un son complexe (doc.4.b) montre qu’il est constitué de plusieurs vibrations de fréquences f1, f2, … fn.

L’essentiel
•Lorsqu’un système mécanique vibre, celui-ci est le siège d’oscillations dont la fréquence est définie.
Ces modes de vibration sont appelés les modes propres.
• La plus petite fréquence des modes propres est la fréquence du fondamental, notée f1.
• Toutes les autres fréquences, appelées harmoniques, sont des multiples entiers de la fréquence du fondamental :
fn = . f1,
avec n, un nombre entier tel que n > 1.

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