Lecture de courbes de niveau

Exemple :
Dans l’espace, l’ensemble des points M (x ; y ; z) tel que z = x² + y² définit une surface.

Pour tracer cette surface, on peut utiliser un tableur. Ainsi, pour la surface définie par z = x² + y², si on fait varier x et y de − 4 à 4, on obtient les valeurs de z correspondantes dans le tableau suivant :



Lecture du tableau :

• Pour x = − 2 et y = 3 on a z = 13 donc A (− 2 ; 3 ;13) appartient à la surface car 13 = (−2)² + 3²,
• Pour x = 3 et y = 3 on a z = 18 donc B (3 ; 3 ;18) appartient à la surface car 18 = 3² + 3².

En utilisant l’assistant graphique d’un tableur et en sélectionnant la « surface 3D », on obtient :



L’intersection des plans parallèles au plan (xoy) avec la surface définit une ligne appelée « courbe de niveau ».

Sur le schéma précédent représentant la surface z = x² + y², les courbes qui délimitent chaque bandeau de couleur sont des courbes de niveaux.

Par exemple, l’intersection du plan d’équation z = 15 avec la surface est la courbe de niveau qui délimite les bandeaux jaune et bleu.

Afin de mieux visualiser les courbes de niveaux, on peut projeter les points de la surface sur le plan (xoy).

Exemple :
Un tableur nous permet d’obtenir le schéma suivant pour z = 10 :


Avec cette projection, la lecture des coordonnées du point C est facilitée :
C (−3 ; −1 ; 10).

Les courbes de niveaux permettent de visualiser en deux dimensions le relief sur une carte.

Sur cette carte, chaque ligne en rouge indique une altitude qui est une courbe de niveau. Tout point situé sur une même ligne rouge est à la même altitude. Plus les lignes rouges sont serrées plus le dénivelé est important. Dans cet exemple, entre deux courbes de niveaux, il y a 5 m de dénivelé.

Ainsi sur le grossissement de la partie encadrée, on peut repérer certains éléments importants :

La première ligne entourant le sommet (237 m) est donc une courbe de niveau à 235 m. La suivante est à 230 m et ainsi de suite jusqu’à la courbe de niveaux 200 m repérée par les flèches à gauche.

De la même manière, on délimite la profondeur d’un lac, d’une mer, d’un océan. Sur l’exemple suivant, on repère les différentes profondeurs de l’eau de la manche entre la Hague et Saint-Malo. Les délimitations entre les dégradés de bleu sont des courbes de niveau appelées « isobathes » :

Ce type de carte est très utile pour le transport maritime. En jaune sont repérés les points d’« isobathe » zéro. De la même manière, on utilise des courbes de niveaux dans les cas suivants :

• Les courbes isothermes relient les points sur une carte de même température,
• Les courbes isobares relient les points sur une carte de même pression atmosphérique,
• Les courbes isoplèthes relient les points sur une carte à la même altitude.