Le pendule simple - Maxicours

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Le pendule simple

Objectifs : Le pendule simple constitue un système mécanique oscillant.
Il s’agit de déterminer ses caractéristiques et l’évolution de ses oscillations au cours du temps lorsqu’il est faiblement amorti ou non.
1. Pendule simple et pendule pesant
a. Pendule pesant

Un pendule pesant est un système oscillant constitué d'un balancier mobile autour d’un axe fixe et horizontal, ne passant pas par le centre d’inertie du système.

Exemple : le balancier d’une horloge mécanique.

b. Pendule simple
 
Le pendule simple est un pendule pesant idéal constitué d’un objet de masse m accroché à un fil ou à une tige inextensible, de longueur l et de masse négligeable (devant celle du système tout entier).
Le centre d’inertie du système coïncide alors avec le centre de la sphère.
Le pendule peut osciller autour d’un axe horizontal fixe
 
c. Position d’équilibre

• La position d’équilibre stable du pendule simple coïncide avec sa position de repos ; c’est la verticale du lieu de l’expérience ;

• la position d’équilibre instable est telle que le centre d'inertie du pendule est situé au-dessus de l'axe vertical.


      

2. Caractéristiques
a. Période

La période T du pendule simple est la durée d’une oscillation (un aller-retour autour de la position de repos).

Remarque : T dépend de la longueur  du pendule et de l’intensité de la pesanteur g (au lieu de l’expérience) mais non de la masse m de l’objet.

Recherche de l’expression de la période T grâce à l'analyse dimensionnelle :  

La période dépend de la longueur l du pendule et de l’intensité de la pesanteur g.

[T] = k x [l]a x [g]b  (1)    (équation aux dimensions).

[l] est homogène à une longueur L et [g] est homogène à une accélération, c’est-à-dire à une longueur par temps au carré :
[g] = L x T-2.
Donc (1) donne [T] = La x Lb x T-2b = La-b x T-2b  car k est un coefficient de proportionnalité sans dimension.

D'où  a – b = 0 et - 2b = 1 c’est-à-dire a = b et b = - 1/2. 
Ainsi a = 1/2  et b = - 1/2.

Alors T = l 1/2 x g -1/2 = (l / g)1/2 

b. Fréquence

f = 1 / T.

Exemples :
• si T = 2 s ; f = 0,5 Hz ; la longueur du pendule est l = 1 m ;
• si T = 1 s ; f = 1 Hz ; la longueur du pendule est alors l = 0,25 m ;
• pour doubler la fréquence, il faut diviser la longueur de la corde par 4.

c. Amplitude
 

3. Pendule simple non amorti

4. Pendule simple amorti

Lorsque le pendule simple subit les frottements de l’air, par exemple, le système est amorti.
Les oscillations sont amorties faiblement (mouvement pseudo-périodique) ou fortement (mouvement apériodique).

a. Amortissement faible

L’amplitude des oscillations du pendule décroît régulièrement avec le temps.
La pseudo-période peut alors être déterminée.

b. Amortissement fort
On ne peut plus mesurer de période car les forces de frottement fluide sont trop importantes.

 

On ne peut pas déterminer de période sur le graphique car il n’y a plus d’oscillation.
Le mouvement est alors apériodique.

Illustration animée : Pendule simple non amorti et pendule simple amorti
  
 

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