Le dispositif solide-ressort - Maxicours

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Le dispositif solide-ressort

Objectifs : Le dispositif solide-ressort constitue un mécanisme oscillant.
L'étude des caractéristiques du mouvement du dispositif conduit à la résolution d'une équation différentielle.
1. Equation différentielle du mouvement d'un solide lié à un ressort
a. Mouvement du solide

Le référentiel d'étude est le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
Le système est un solide de masse m et de centre d'inertie G lié à l'extrémité d'un ressort de masse nulle et fixé à une autre extrémité A.
Le centre d'inertie G du solide peut se déplacer suivant un axe horizontal (AG).

b. Equation et solution

La deuxième loi de Newton peut être appliquée dans le référentiel d'étude supposé galiléen :

2. Caractéristiques du mouvement de l'oscillateur
a. Période

Le mouvement du solide est donc périodique.
La période propre des oscillations est notée T0 et se mesure en secondes.
Equation aux dimensions :
T0 est de la forme T0 = où C est un coefficient sans dimension.
m s'exprime en kg et k en N.m-1, c'est-à-dire en (kg.m.s-2).m-1, soit kg.s-2.
On en déduit que T02 s'exprime en kg / (kg.s-2) soit en s2.
Donc Tse mesure bien en secondes (s).
Remarque : l'équation aux dimensions ne permet pas de déterminer le coefficient C.

Calcul de la période propre à partir de l'équation du mouvement :
 


Comme , on peut écrire :

L'équation différentielle du mouvement est vérifiée si : ;


b. Fréquence
        Rappel :   avec

        On en déduit l'expression suivante : .

c. Amplitude
Le solide oscille autour de sa position d'équilibre.
 
Si le système n'est soumis à aucune force de frottement (frottements dus à l'action de l'air sur le solide ou frottements du support) , l'amplitude est constante.


d. Exemple

Un solide de masse m = 600 g (0,600 kg) attaché à un ressort de raideur k = 150 N.m-1 horizontal fixé à l'une de ses extrémités, est écarté, sans vitesse initiale, de sa position d'équilibre de d = 5 cm.
On suppose que le solide peut se déplacer sans frottement suivant un axe horizontal.
Le solide a un mouvement périodique de période propre :


 

3. Oscillations amorties

Le mouvement est pseudo-périodique avec une pseudo-période proche de la période propre T0 de l'oscillateur non amorti.
L'amplitude des oscillations diminue au cours du temps.
Si les frottements sont importants, le système n'oscille plus ou très peu, le mouvement est alors apériodique.

 
 

 

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