L'évolution temporelle d'un système : ses caractéristiques et les facteurs l'influençant
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Comment peut-on observer et caractériser cette évolution temporelle ? Selon le système considéré, ces grandeurs évoluent-elles de la même façon au cours du temps?
L’évolution temporelle d’un système peut-elle être influencée par des paramètres internes, externes ou bien par des conditions initiales particulières ?
Nous définirons tout d’abord quelques grandeurs dont la variation témoigne de l’évolution du système au cours du temps, puis l’influence des paramètres internes, externes et des conditions initiales du système sur cette évolution.
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Si on branche la sortie d’un générateur base
fréquence (GBF) sur un oscilloscope, la tension
visualisée varie entre deux valeurs. Ces valeurs restent
constantes avec le temps.
Ici, la grandeur physique G observée est la
tension, et la variation de la valeur de cette dernière au
cours du temps permet de caractériser
l’évolution temporelle de ce système.
De façon générale, une grandeur physique, G, caractéristique d’un système peut être constante ou varier avec le temps. Ces différentes évolutions sont mises en évidence par l’étude de la valeur de cette grandeur au cours du temps, g(t).
De ce qui précède, on peut déduire que selon
le système considéré, celui-ci peut
évoluer différemment dans le temps.
Il existe principalement quatre grands types
d’évolution.
La grandeur G est dite convergente, si sa valeur g(t) tend vers une valeur limite constante dans le temps (voir courbe 1).
Au cours de cette évolution, deux phases
successives sont
observées :
• un régime
transitoire, pendant lequel
g(t) varie ;
• un régime
établi, pendant lequel
g(t) reste constante à la valeur limite.
La durée entre l’instant initial et l’instant tel que l’on pourra considérer g(t) comme constant est appelée le temps d’établissement du régime. C’est une caractéristique importante de l’évolution temporelle de la grandeur G.
Courbe 1 : Allure d’une courbe g(t) pour une tension électrique convergente.
Une grandeur G est dite périodique si sa valeur, g(t), se répète identique à elle-même à intervalles de temps égaux (voir courbe 2).
La période
temporelle, notée T et exprimée en
seconde (s), est le plus petit intervalle de temps entre deux
états identiques de G.
La fréquence,
notée f et exprimée en hertz (Hz)
si T est en seconde, est égale au nombre de
périodes par unité de temps. Elle est
numériquement égale à l’inverse de
T : f = 1 / T
Si la perte d’énergie n’est pas très importante, le système évolue de façon pseudo-périodique (voir courbe 3) caractérisée par :
• la pseudo période qui est égale à la période d’un phénomène qui varierait comme g(t) sans amortissement ;
• le temps d’amortissement, égal à la durée entre l’instant initial et l’instant tel que l’on pourra considérer g(t) comme constante.
d. Les valeurs de la grandeur varient de façon divergente
C’est le cas, par exemple, de la distance de chute d’une pierre lâchée d’une fenêtre qui augmenterait à l’infini si elle ne rencontrait pas le sol.
Les paramètres internes qui
caractérisent le système peuvent jouer un
rôle non négligeable sur l’évolution
temporelle de celui-ci.
En électricité, la résistance peut influer
sur les temps caractéristiques du circuit. Des conducteurs
ohmiques, par exemple, dont la tension évolue de
façon convergente avec le temps, montreront un temps
d’établissement du régime d’autant plus
court que la résistance de ces derniers sera faible.
De même, le temps d’amortissement aura des valeurs
différentes, selon la longueur du fil, la masse de la
bille, etc.
Les paramètres externes
caractérisant les effets extérieurs sont multiples
et divers selon la nature du système
considéré.
Dans le cas des oscillations d’un pendule pesant, par
exemple, la valeur du temps d’amortissement sera
différente selon le type de frottements exercé
(« fluide » ou
« solide ») sur le pendule.
Dans certains autres cas, ces influences sont utilisées
pour caractériser un milieu extérieur. C’est
le cas de l’IRM (Imagerie par Résonance
Magnétique) qui permet de déterminer la
viscosité d’un milieu en fonction du temps
d’amortissement de molécules d’eau
perturbées par un champ magnétique.
Les conditions initiales définissant le système
à l’instant t = 0 peuvent également
influer sur l’évolution temporelle de ce
dernier.
L'évolution temporelle d'un système est caractérisée par une grandeur physique G. Celle-ci peut varier de quatre façons différentes selon le système envisagé.
Celle-ci peut être convergente, périodique, pseudo-périodique et divergente.
Il existe également des facteurs externes et internes qui influent sur l'évolution temporelle d'un système.
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