L'évolution temporelle d'un système : ses caractéristiques et les facteurs l'influençant - Maxicours

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L'évolution temporelle d'un système : ses caractéristiques et les facteurs l'influençant

Objectifs : Tout système évolue dans le temps.
Comment peut-on observer et caractériser cette évolution temporelle ? Selon le système considéré, ces grandeurs évoluent-elles de la même façon au cours du temps?

L’évolution temporelle d’un système peut-elle être influencée par des paramètres internes, externes ou bien par des conditions initiales particulières ?

Nous définirons tout d’abord quelques grandeurs dont la variation témoigne de l’évolution du système au cours du temps, puis l’influence des paramètres internes, externes et des conditions initiales du système sur cette évolution. 
1. Comment caractériser l’évolution temporelle d’un système ?

Exemple 1 :

Exemple 2 :

Si on branche la sortie d’un générateur base fréquence (GBF) sur un oscilloscope, la tension visualisée varie entre deux valeurs. Ces valeurs restent constantes avec le temps.
Ici, la grandeur physique G observée est la tension, et la variation de la valeur de cette dernière au cours du temps permet de caractériser l’évolution temporelle de ce système.

De façon générale, une grandeur physique, G, caractéristique d’un système peut être constante ou varier avec le temps. Ces différentes évolutions sont mises en évidence par l’étude de la valeur de cette grandeur au cours du temps, g(t).

2. Les différentes évolutions de ces grandeurs et leurs caractéristiques

De ce qui précède, on peut déduire que selon le système considéré, celui-ci peut évoluer différemment dans le temps.
Il existe principalement quatre grands types d’évolution.

a. Les valeurs de la grandeur varient de façon convergente

La grandeur G est dite convergente, si sa valeur g(t) tend vers une valeur limite constante dans le temps (voir courbe 1).

Au cours de cette évolution, deux phases successives sont observées :

• un régime transitoire, pendant lequel g(t) varie ;

• un régime établi, pendant lequel g(t) reste constante à la valeur limite.

La durée entre l’instant initial et l’instant tel que l’on pourra considérer g(t) comme constant est appelée le temps d’établissement du régime. C’est une caractéristique importante de l’évolution temporelle de la grandeur G.

Courbe 1 : Allure d’une courbe g(t) pour une tension électrique convergente.

b.  Les valeurs de la grandeur varient de façon périodique

Une grandeur G est dite périodique si sa valeur, g(t), se répète identique à elle-même à intervalles de temps égaux (voir courbe 2).

La période temporelle, notée T et exprimée en seconde (s), est le plus petit intervalle de temps entre deux états identiques de G.

La fréquence, notée et exprimée en hertz (Hz) si T est en seconde, est égale au nombre de périodes par unité de temps. Elle est numériquement égale à l’inverse de T : f = 1 / T

            

Courbe 2 : Allure d’une courbe g(t) pour une tension d’un générateur basse fréquence.
c. Les valeurs de la grandeur varient de façon pseudo-périodique
Tout système oscillant (voir exemple 1 du 1.), du fait de ses interactions avec son environnement extérieur, perd de l’énergie au cours de son évolution et donc s’amortit.
Si la perte d’énergie n’est pas très importante, le système  évolue de façon pseudo-périodique (voir courbe 3) caractérisée par :

• la pseudo période qui est égale à la période d’un phénomène  qui varierait comme  g(t) sans amortissement ;

• le temps d’amortissement, égal à la durée entre l’instant initial et l’instant tel que l’on pourra considérer g(t) comme constante.

Courbe 3 : Allure d’une courbe g(t) pour une tension pseudo-périodique.

Remarque : Un phénomène est très peu amorti si la pseudo-période est très petite devant le temps d’amortissement. A l’échelle de quelques périodes, le phénomène sera alors souvent considéré comme périodique.
 

d. Les valeurs de la grandeur varient de façon divergente

La grandeur G est dite divergente,  si sa valeur g(t) tend à augmenter en valeur absolue avec le temps.
C’est le cas, par exemple, de la distance de chute d’une pierre lâchée d’une fenêtre qui augmenterait à l’infini si elle ne rencontrait pas le sol.
3. L’influence des paramètres internes et externes du système

Les paramètres internes qui caractérisent le système peuvent jouer un rôle non négligeable sur l’évolution temporelle de celui-ci.

En électricité, la résistance peut influer sur les temps caractéristiques du circuit. Des conducteurs ohmiques, par exemple, dont la tension évolue de façon convergente avec le temps, montreront un temps d’établissement du régime d’autant plus court que la résistance de ces derniers sera faible.

De même, le temps d’amortissement aura des valeurs différentes, selon la longueur du fil, la masse de la bille, etc.

Les paramètres externes caractérisant les effets extérieurs sont multiples et divers selon la nature du système considéré.

Dans le cas des oscillations d’un pendule pesant, par exemple, la valeur du temps d’amortissement sera différente selon le type de frottements exercé (« fluide » ou « solide ») sur le pendule.

Dans certains autres cas, ces influences sont utilisées pour caractériser un milieu extérieur. C’est le cas de l’IRM (Imagerie par Résonance Magnétique) qui permet de déterminer la viscosité d’un milieu en fonction du temps d’amortissement de molécules d’eau perturbées par un champ magnétique.

4. L’influence des conditions initiales

Les conditions initiales définissant le système à l’instant t = 0 peuvent également influer sur l’évolution temporelle de ce dernier.

L'essentiel
L'évolution temporelle d'un système est caractérisée par une grandeur physique G. Celle-ci peut varier de quatre façons différentes selon le système envisagé.
Celle-ci peut être convergente, périodique, pseudo-périodique et divergente.
Il existe également des facteurs externes et internes qui influent sur l'évolution temporelle d'un système.

 

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