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Energie mécanique d'un système solide-ressort

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Objectif : Quelle est l'expression de l'énergie mécanique d'un système solide-ressort ? Le système solide-ressort constitue-t-il un système conservatif ?

1. Le système solide-ressort

a. Le référentiel d'étude

Lorsque le système est immobile, à la date t = 0s, le centre de gravité G du solide coïncide avec l'origine du repère O.
Le ressort est écarté (comprimé ou étiré) de sa position d'équilibre puis lâché sans vitesse initiale : Le système oscille alors autour de sa position d'équilibre.

b. Bilan des forces appliquées au système

Le système solide-ressort est soumis à plusieurs forces :

c. Travaux des forces

2. Energie mécanique

Rappel :
Le système solide-ressort constitue un système oscillant. Son allongement est :

x = x_m cos [(2πt/T₀) + φ₀] ;

où x_m est l'amplitude maximum correspondant à un allongement maximum,
T₀ la période propre de l'oscillateur et φ₀ l'origine des phases. x_m et φ₀ sont déterminées par les conditions initiales.

La vitesse v du solide, supposé indéformable est :

v = dx / dt = - x_m × (2π/T₀) × sin [(2πt/T₀) + φ₀]

a. Energie cinétique

L'énergie cinétique E_c est donnée par la relation suivante :

b. Energie potentielle élastique

L'énergie potentielle élastique E_pk d'un système solide-ressort est :

C'est l'énergie que doit fournir un opérateur pour étirer ou comprimer le ressort.

c. Energie mécanique

L'énergie mécanique E_m du système est la somme de son énergie cinétique E_c et de son énergie potentielle de pesanteur E_pk :

E_m dépend de la raideur du ressort et de l'amplitude des oscillations.

3. Conservation de l'énergie du système

a. Oscillateur non amorti

Lorsque le système solide-ressort n'est soumis à aucun frottement, son amplitude x_m ne change pas donc l'énergie mécanique du système est constante.
Lorsque le système atteint son amplitude maximum (l'étirement ou la compression du ressort est alors maximum) ; l'énergie cinétique du système est nulle puis elle augmente.
Elle est maximum quand le ressort passe par sa position d'équilibre (x = 0).

Lorsque le système atteint son amplitude maximum ; l'énergie potentielle élastique du système est maximum puis elle diminue.
Elle est nulle quand le ressort passe par sa position d'équilibre (x = 0).

L'énergie cinétique diminue pendant que l'énergie potentielle élastique du système augmente : l'énergie mécanique est donc constante, elle se conserve.

b. Oscillateur amorti

Lorsque le système solide-ressort est soumis à des frottements, son amplitude x_m diminue donc l'énergie mécanique du système diminue ; elle n'est plus constante donc ne se conserve pas.
La diminution de l'énergie mécanique est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.