Données gaussiennes - Maxicours

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Données gaussiennes

Sommaire : Données gaussiennes - Propriétés des courbes en cloche - Plages de normalité
1. Courbe de Gauss « en cloche »
Exemple :
Un centre d’examen du baccalauréat a relevé les 600 notes obtenues, arrondies à l’entier supérieur, par des élèves de Première en enseignement scientifique.
Les résultats de ce relevé sont consignés dans le tableau suivant :



Représentons cette série statistique sous forme de « diagramme en bâtons » :



Cette répartition des notes a une forme particulière appelée « courbe en cloche » et est caractéristique d’une « distribution gaussienne ».

Remarque
Le terme « gaussien » vient du mathématicien allemand Frédéric Gauss (1777-1855).
Définition
On appellera distribution gaussienne toute répartition des données dont l’allure a cette forme de « courbe en cloche »

Remarque :
Ce type de distribution est classique et se retrouve autant dans des applications de statistiques pures que dans la vie courante :
  • Répartition du nombre d’enfants par famille
  • Taux de cholestérol dans une population
  • Nombre de pièces défectueuses par jour dans une entreprise…
2. Propriétés des distributions gaussiennes
  • La courbe en cloche est symétrique par rapport à la droite x=moyenne M
  • Le mode et la médiane sont égaux à la moyenne
  • Si M est la moyenne et l’écart-type alors :
    • 68 % des valeurs sont dans l’intervalle
    • 95 % des valeurs sont dans l’intervalle
    • 99 % des valeurs sont dans l’intervalle
Définition
Les intervalles , et sont appelés les plages de normalité, à respectivement, 68 %, 95 % et 99 %.



Sur l’exemple, la répartition des notes au baccalauréat en enseignement scientifique semble gaussienne.
Vérifions ces propriétés :

Moyenne, mode et médiane :
La moyenne de cette série donne M = 11 et l’écart type est de 4. La médiane est de 11,4 et le mode la classe [11 ; 12].

Le diagramme en bâtons est symétrique de part et d’autre de la moyenne.
On peut remarquer que la moyenne, la médiane et le mode sont très proches.

Plage de normalité :
Un élève a obtenu 16 à son examen d’enseignement scientifique.
Dans quelle plage de normalité entre-t-il ?

La plage de normalité à 68 % est [11 − 4 ; 11 + 4 ] = [7 ;15].

La plage de normalité à 95 % est [11 − 2 × 4 ; 11 + 2 × 4 ] = [3 ;19].

Cet élève entre donc dans la plage de normalité à 95 % mais pas dans celle à 68 %.

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