Données gaussiennes
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Un centre d’examen du baccalauréat a relevé les 600 notes obtenues, arrondies à l’entier supérieur, par des élèves de Première en enseignement scientifique.
Les résultats de ce relevé sont consignés dans le tableau suivant :
Représentons cette série statistique sous forme de « diagramme en bâtons » :
Cette répartition des notes a une forme particulière appelée « courbe en cloche » et est caractéristique d’une « distribution gaussienne ».
Remarque :Ce type de distribution est classique et se retrouve autant dans des applications de statistiques pures que dans la vie courante :
- Répartition du nombre d’enfants par famille
- Taux de cholestérol dans une population
- Nombre de pièces défectueuses par jour dans une entreprise…
- La courbe en cloche est symétrique par rapport à la droite x=moyenne M
- Le mode et la médiane sont égaux à la moyenne
- Si M est la moyenne et
l’écart-type alors :
- 68 % des valeurs sont dans l’intervalle
- 95 % des valeurs sont dans l’intervalle
- 99 % des valeurs sont dans l’intervalle
- 68 % des valeurs sont dans l’intervalle
, et sont
appelés les plages de
normalité, à respectivement,
68 %, 95 % et 99 %.
Sur l’exemple, la répartition des notes au baccalauréat en enseignement scientifique semble gaussienne.
Vérifions ces propriétés :
Moyenne, mode et médiane :
La moyenne de cette série donne M = 11 et l’écart type est de
4. La
médiane est de 11,4 et le mode la classe
[11 ; 12].Le diagramme en bâtons est symétrique de part et d’autre de la moyenne.
On peut remarquer que la moyenne, la médiane et le mode sont très proches.
Plage de normalité :
Un élève a obtenu 16 à son examen d’enseignement scientifique.
Dans quelle plage de normalité entre-t-il ?
La plage de normalité à 68 % est [11 − 4 ; 11 + 4 ] = [7 ;15].
La plage de normalité à 95 % est [11 − 2 × 4 ; 11 + 2 × 4 ] = [3 ;19].
Cet élève entre donc dans la plage de normalité à 95 % mais pas dans celle à 68 %.
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