Dénombrer - Maxicours

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Dénombrer

Objectifs :
- Comprendre le principe de la somme
- Visualiser le principe du produit
- Comprendre la constitution d'une liste ordonnée de p éléments distincts
- Cas particulier des permutations

1. Principe de la somme
Principe de la somme

E est un ensemble fini.

Si les parties A1, A2, ... , An constituent une partition de E alors le nombre d'éléments de E est égal à la somme des nombres d'éléments des ensembles A1, A2, ... , An.

Le nombre d'éléments d'un ensemble X s'appelle son cardinal et se note Card(X).
 

Et card(E) = Card(A1) + Card(A2) + ... + Card(An)

En utilisant ce résultat, on démontre que :

?
? de complémentaire

Exemple

Si sur 50 personnes, 19 ont passé leurs vacances à la campagne, 25 les ont passées au bord de la mer et 10 ne sont pas parties en vacances. On en déduit que 4 d'entre elles sont allées en vacances au bord de la mer et à la campagne.

En effet, si E est l'ensemble étudié, M celui de celles qui sont allées au bord de la mer et C celui des personnes qui sont allées à la campagne, alors d'après l'énoncé :


2. Principe du produit
Si une procédure est constituée de p pas et que le pas i présente ni possibilités, qui ne dépendent que de i, alors le nombre N de possibilités d'exécution de la procédure est :

Un arbre pour comprendre et visualiser

Procédure à 4 pas

? 3 possibilités pour le pas 1
? 4 possibilités pour le pas 2
? 2 possibilités pour le pas 3
? 1 possibilité pour le pas 4


Exemple 1


Avec les cinq chiffres impairs 1, 3, 5, 7 et 9, on peut constituer 60 nombres de 3 chiffres distincts.
En effet, il y a cinq choix pour le premier chiffre, 4 pour le deuxième et 3 pour le troisième. Donc :


Exemple 2

Une petite ville possède 30 000 habitants dont 10 001 détenteurs d'une carte bleue. Parmi eux, il existe obligatoirement au moins deux personnes qui ont le même code confidentiel.

En effet, un code confidentiel est une liste ordonnée de 4 chiffres non nécessairement distincts. Il y a 10 choix pour le premier chiffre, 10 aussi pour le deuxième, 10 pour le troisième et 10 choix pour le quatrième.


On peut donc constituer 10 000 codes confidentiels différents mais pas un de plus.
3. Nombre de listes ordonnées de p éléments distincts
Une liste ordonnée de p éléments distincts est noté (a1, a2, ..., ap).

? Si p = 2, on utilise le mot couple, noté (a ; b)
? Si p = 3, le mot triplet est utilisé et se note (a ; b ; c)
? Si p = 4, le mot quadruplet est utilisé

Soit E un ensemble de n éléments. On applique le principe du produit, et on en déduit que le nombre N de listes ordonnées de p éléments distincts de E est :

Il ne faut pas mémoriser cette formule, il est plus simple de faire un raisonnement direct dans chaque cas.

Exemple

Avec 10 éléments, on peut fabriquer 720 triplets d'éléments distincts. En effet, le premier élément du triplet a 10 valeurs possibles. le deuxième en a 9 et le troisième, 8. Ainsi, d'après le principe du produit,
4. Permutations
Soit E un ensemble de n éléments.

On appelle permutation de E, une liste ordonnée des n éléments de E.

D'après le principe du produit, le nombre des permutations de E est égal à :

Le nombre est noté et est appelé factorielle n.

Par convention, 0! = 1 donc :

Exemple


Si cinq coureurs sont au départ d'une course, le nombre de classements possibles à l'arrivée est 120.
En effet, classer ces coureurs c'est les ordonner. le nombre de permutations d'un ensemble de 5 éléments est 5!. Donc 5! =

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