Dénombrer
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Visualiser le principe du produit
- Comprendre la constitution d'une liste ordonnée de p éléments distincts
- Cas particulier des permutations
E est un ensemble fini.
Si les parties A1, A2, ... , An constituent une partition de E alors le nombre d'éléments de E est égal à la somme des nombres d'éléments des ensembles A1, A2, ... , An.
Le nombre d'éléments d'un ensemble X s'appelle son cardinal et se note Card(X).
Et card(E) = Card(A1) + Card(A2) + ... + Card(An)
En utilisant ce résultat, on démontre que :
?
?
de complémentaire
Exemple
Si sur 50 personnes, 19 ont passé leurs vacances à la campagne, 25 les ont passées au bord de la mer et 10 ne sont pas parties en vacances. On en déduit que 4 d'entre elles sont allées en vacances au bord de la mer et à la campagne.
En effet, si E est l'ensemble étudié, M celui de celles qui sont allées au bord de la mer et C celui des personnes qui sont allées à la campagne, alors d'après l'énoncé :
Un arbre pour comprendre et visualiser
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Procédure à 4 pas
? 3 possibilités pour le pas 1 ? 4 possibilités pour le pas 2 ? 2 possibilités pour le pas 3 ? 1 possibilité pour le pas 4 |
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Exemple 1
Avec les cinq chiffres impairs 1, 3, 5, 7 et 9, on peut constituer 60 nombres de 3 chiffres distincts.
En effet, il y a cinq choix pour le premier chiffre, 4 pour le deuxième et 3 pour le troisième. Donc :
Exemple 2
Une petite ville possède 30 000 habitants dont 10 001 détenteurs d'une carte bleue. Parmi eux, il existe obligatoirement au moins deux personnes qui ont le même code confidentiel.
En effet, un code confidentiel est une liste ordonnée de 4 chiffres non nécessairement distincts. Il y a 10 choix pour le premier chiffre, 10 aussi pour le deuxième, 10 pour le troisième et 10 choix pour le quatrième.
On peut donc constituer 10 000 codes confidentiels différents mais pas un de plus.
? Si p = 2, on utilise le mot couple, noté (a ; b)
? Si p = 3, le mot triplet est utilisé et se note (a ; b ; c)
? Si p = 4, le mot quadruplet est utilisé
Soit E un ensemble de n éléments. On applique le principe du produit, et on en déduit que le nombre N de listes ordonnées de p éléments distincts de E est :
Il ne faut pas mémoriser cette formule, il est plus simple de faire un raisonnement direct dans chaque cas.
Exemple
Avec 10 éléments, on peut fabriquer 720 triplets d'éléments distincts. En effet, le premier élément du triplet a 10 valeurs possibles. le deuxième en a 9 et le troisième, 8. Ainsi, d'après le principe du produit,
On appelle permutation de E, une liste ordonnée des n éléments de E.
D'après le principe du produit, le nombre des permutations de E est égal à :
Le nombre
est noté 
et est appelé factorielle n.Par convention, 0! = 1 donc :
Exemple
Si cinq coureurs sont au départ d'une course, le nombre de classements possibles à l'arrivée est 120.
En effet, classer ces coureurs c'est les ordonner. le nombre de permutations d'un ensemble de 5 éléments est 5!. Donc 5! =
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