Démonstrations utilisant une translation

• Construire B’ l’image de B par la symétrie centrale de centre A.
• Construire C’ l’image de C par la symétrie centrale de centre A.
• Démontrer que le point C’ a pour image B’ par la translation qui envoie B sur C.

B’ symétrique de B par rapport à A, donc A est le milieu de [BB’].
C’ symétrique de B par rapport à A, donc A est le milieu de [CC’].
Les diagonales [BB’] et [CC’] se coupent en leur milieu, donc le quadrilatère BCB’C’ est un parallélogramme : le point C’ a donc pour image B’ par la translation qui envoie B sur C.





Placer le point E qui est l'image de D par la translation qui envoie A sur C.
Que peut-on dire du point C ? Le démontrer.

Correction :



•  On en déduit que les segments [CE] et [BC] sont parallèles, ce qui signifie que B, C et E sont alignés.

•  On en déduit aussi que [CE] et [BC] sont égaux et donc que C est au milieu de [BE].

On pourrait aussi rédiger la démonstration sous la forme d'un organigramme :




Correction :





• Placer un point C sur un cercle de diamètre [AB]. 
• Construire le point D, image du point C par la translation qui transforme A en C. 
• Construire le point E, image du point B par la translation qui transforme A en C. 
• Démontrer que BCDE est un rectangle.


• On commence par prouver que BCDE est un parallélogramme.
E est l’image de B par la translation qui envoie A sur C et c’est la même translation qui envoie C sur D, donc BCDE est un parallélogramme.

• Il reste à démontrer que ce parallélogramme possède un angle droit.
Le point C appartient au cercle de diamètre [AB], donc la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (AD), BCDE est donc un parallélogramme qui possède un angle droit, c’est donc un rectangle.