Combinaisons

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Objectifs :

- Comprendre la combinaison
- Comprendre le théorème du nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments
- Apprendre les formules et savoir retrouver la démonstration

1. Combinaison

Soit E un ensemble de n éléments et p, un entier tel que

.
On appelle combinaison de p éléments de E, toute partie de E ayant p éléments.
Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble de n éléments est noté

.
Il se lit "p parmi n".

2. Théorème et démonstration des combinaisons - Valeurs particulières

Le nombre de combinaisons d'un ensemble de n éléments est :

Ainsi

est le nombre de parties constituée de p éléments d'un ensemble à n éléments.

Démonstration : Soit E un ensemble à n éléments.
À partir d'une partie de E ayant p éléments ( distincts par définition du mot partie), on peut fabriquer p! listes ordonnées de p éléments distincts.

Il y a par définition, parties de p éléments, donc il y a, en tout, listes ordonnées de p éléments distincts de E.

Or, le nombre N de listes ordonnées de p éléments distincts de E est :

N = n x (n-1) x (n-2) x ... x (n-p+1).

On en déduit que d'où le résultat.

Exemple : Il y a 220 façons de tirer simultanément 3 boules (ou l'une après l'autre sans remise) d'une urne qui en contient 12.

En effet, on cherche le nombre de combinaisons de 3 éléments d'un ensemble de 12 éléments :

Valeurs particulières

Dans un ensemble de n éléments :

•

est le nombre de parties constituées de 0 élément; seule la partie vide est constituée de 0 élément donc

•

est le nombre de parties constituées de 1 élément donc

•

est le nombre de parties constituées de n éléments; seule la partie égale à E lui-même, est constituée de n éléments donc

3. Formules et démonstration

Quels que soient les entiers n et p tels que

Démonstration :

• À chaque partie de E constituée de p éléments, on peut associer une partie constituée de (n-p) éléments
Donc, il y a autant de parties à p éléments que de parties à (n-p) éléments, d'où la première formule.

• Soit a, un élément particulier de E. Le nombre

de parties de p éléments de E est égal à la somme du nombre de parties de p éléments ne contenant pas a et du nombre de parties de p éléments contenant a. Il y a

parties de p éléments ne contenant pas a. Si F est l'ensemble des éléments de E différents de a, il y a

parties de (p-1) éléments de l'ensemble F, or en ajoutant a à chacune des parties, on obtient les parties de p éléments contenant a; d'où la deuxième formule.

Exemples: