Circuit RL en série (1)

Dans cette étude, vous vous familiariserez avec les circuits RL en série en étudiant :

• les notions et les différents calculs concernant l'impédance,
• la relation de phase entre la tension et le courant,
• les puissances et le facteur de puissance.

L'impédance, symbolisée par Z, est la mesure de l'opposition totale au passage du courant alternatif dans un circuit électrique. Elle s'exprime en ohms et est le résultat du rapport entre la tension appliquée au circuit et le courant total qui le traverse.

L'impédance peut être calculée grâce à la formule suivante :
Où :

Z : impédance du circuit en ohms
U : valeur efficace de la tension appliquée au circuit en volts (V)
I : valeur efficace du courant total du circuit en ampères (A)

Dans un circuit partiellement inductif, comme celui représenté à la figure 3.1, il y a à la fois une résistance (R) et une bobine, présentant une réactance inductive (X_L), raccordées en série.

L'impédance est alors une combinaison de ces deux valeurs. Toutefois, on ne peut pas additionner directement la résistance et la réactance inductive:

• En effet, l'opposition de la résistance ne provoque aucun déphasage entre la tension à ses bornes et le courant qui la traverse.
• La bobine, au contraire, s'oppose au passage du courant et provoque un déphasage de 90° entre la tension à ses bornes et le courant qui la traverse.

Pour tenir compte de tous ces effets, il est possible de représenter la relation entre la valeur de la résistance R et celle de la réactance inductive X_L par un diagramme vectoriel.

L'impédance (Z) du circuit représente alors la somme des deux vecteurs :

Étant donné que les vecteurs représentant la résistance (R) et la réactance inductive (X_L) forment un angle de 90°, il est possible d'appliquer la règle de Pythagore (règle des carrés) afin de déterminer l'impédance du circuit. On utilise alors la formule suivante :

Z² = R² + X_L²

Donc : .

Vous savez maintenant que l'impédance d'un circuit RL est obtenue par la somme vectorielle de la résistance et de la réactance inductive. Vous savez également que cette impédance est la mesure de l'opposition globale du circuit RL au passage du courant alternatif et qu'elle présente à la fois la caractéristique d'une résistance et d'une bobine.

Par conséquent, la relation de phase entre la tension totale et le courant total du circuit sera affectée par ces caractéristiques.

• Calcul de l'impédance :
Calculez l'impédance, en ohms, du circuit de la figure suivante :

Solution

1^e étape
Calcul de la réactance inductive :
Formule pour calculer la réactance inductive : .

Où : Pi = 3,14, f = 50 Hz, L = 0,13 H, .
Donc : .

2^e étape
Calcul de l'impédance :
Formule pour calculer l'impédance : .

Où : R = 100 Ohms et X_L = 41 Ohms

Donc : .

L'impédance du circuit est égale à 108,8 Ohms.

On peut conclure que l'impédance:

• d'un circuit RL est obtenue par la somme vectorielle de la résistance et de la réactance inductive.
• est la mesure de l'opposition globale du circuit RL au passage du courant alternatif,
• représente à la fois la caractéristique d'une résistance et d'une bobine.

Par conséquent, la relation de phase entre la tension totale et le courant total du circuit sera affectée par ces caractéristiques.

Lorsqu'une tension alternative est appliquée à un circuit RL en série, comme celui de la figure 3.1, un courant circule.

Ce courant a la même valeur dans tout le circuit, qu'il circule dans la résistance ou dans la bobine.

Il est déterminé par le rapport entre la tension appliquée (U) et l'impédance (Z) du circuit :

Cependant, la valeur de la chute de tension aux bornes de la résistance (U_R) n'est pas égale à celle de la chute de tension aux bornes de la bobine (U_L). Effectivement, la valeur de la tension dépend de la résistance ou de la réactance inductive.

• Pour la résistance R : la chute de tension à ses bornes (U_R) est en phase avec le courant (I) du circuit. Elle est déterminée par le produit du courant et de la résistance. La figure 3.4 représente les formes d'ondes et les vecteurs de Fresnel représentatifs de la relation de phase entre la tension et le courant dans une résistance.

Illustration animée : Relation entre la tension et le courant dans une résistance.

• Pour la bobine (L) : la chute de tension à ses bornes (U_L) est en avance de phase de 90° par rapport au courant (I). Elle est déterminée par le produit de la réactance inductive et du courant. La figure 3.5 vous montre la relation de phase entre la tension et le courant dans une bobine.

Illustration animée : Relation entre la tension et le courant dans une bobine.

Sachant que le courant qui circule dans la résistance est le même que celui qui circule dans la bobine, il est permis de conclure que la tension aux bornes de la bobine (U_L) est en avance de phase de 90° par rapport à la tension aux bornes de la résistance (U_R). La figure 3.6 représente cette relation de phase.

Illustration animée : Relation de phase entre les tensions et le courant d'un circuit RL en série.

Logiquement, la somme de la valeur des tensions U_L et U_R doit être égale à la valeur de la tension (U) appliquée au circuit.

Cependant, à cause de l'angle de 90° formé par le vecteur représentatif de la résistance et celui de la bobine, il n'est pas possible d'additionner directement les valeurs des tensions U_L et U_R.

Toutefois, leur somme peut être obtenue par l'addition des vecteurs, comme il est montré à la droite de la figure ci-dessus.

Cette figure représente également:

• la relation de phase entre la tension (U) appliquée au circuit,
• la chute de tension aux bornes de la résistance (U_R) et celle aux bornes de la bobine (U_L).

Cette relation se traduit mathématiquement par les équations suivantes :

U² = U_R² + U_L².
Donc :

Généralement, pour un circuit RL en série, la tension (U) appliquée au circuit forme toujours avec le courant total du circuit un angle . Cet angle dépend de la chute de tension aux bornes de la résistance et de celle aux bornes de la bobine, comme il est montré à la figure ci-dessus.

Cet angle représente effectivement la mesure du déphasage entre la tension appliquée et le courant du circuit et il peut être déterminé par la formule suivante :

Où :

 : angle de déphasage en degrés (°)
tan^-1 : fonction trigonométrique de l'arc de la tangente
U_L : tension de la bobine en volts (V)
U_R : tension de la résistance en volts (V)

Pour calculer la valeur de l'angle à l'aide d'une calculatrice, il suffit de diviser la valeur de U_L par celle de U_R et de prendre l'inverse de la tangente (INV - TAN).

Comme la valeur du courant est partout la même dans le circuit, la valeur de la chute de tension aux bornes de la bobine (U_L) ainsi que celle aux bornes de la résistance (U_R) dépendent respectivement de la valeur de la réactance inductive (X_L) et de la résistance (R) Ainsi, le rapport entre ces deux tensions  équivaut au rapport entre la réactance inductive et la résistance .

Il est possible de calculer l'angle de phase  du circuit en utilisant ce rapport, ce qui donne l'équation suivante :

Pour un circuit RL en série, la tension appliquée est toujours en avance de phase par rapport au courant total du circuit.

Ce déphasage est toujours représenté par un angle compris entre 0° et 90°:

• puisqu'un angle de phase de 0° correspond à un circuit purement résistif (sans bobine),
• et qu'un angle de phase de 90° correspond à un circuit purement inductif (sans résistance).

1. Calculez, en ampères (A), le courant total du circuit.
2. Tracez le diagramme de Fresnel des tensions et du courant.
3. Déterminez, en degrés (°), le déphasage entre le courant total et la tension du circuit.

Solution :

1. Calcul du courant total

Formule pour calculer le courant : ;
Où : U = 220 V et Z = 108 Ω.

Donc : .

Le courant du circuit est égal à 2,04 A.

2. Diagramme de Fresnel

Pour tracer le diagramme de Fresnel, il faut d'abord calculer la chute de tension dans chacun des composants R et L.

- Calcul de la chute de tension de la résistance :

Formule pour le calcul :

Où : R = 100 Ω, I = 2,04 A.

Donc : .

- Calcul de la chute de tension de la bobine :

Formule pour le calcul : .

Où : X_L = 41 Ω et I = 2,04 A.

Donc : .

Sachant que la chute de tension de la résistance est toujours en phase avec le courant et celle de la bobine toujours en avance de phase de 90° par rapport au courant, voici le diagramme de Fresnel du circuit de la figure étudiée :

3. Calcul de l'angle de déphasage :

Formule pour calculer l'angle de déphasage :
Où : U_L = 83,64 V et U_R = 204 V

Donc :

L'angle de déphasage peut également être déterminé à partir des valeurs R et X_L.

Formule pour le calcul :

Où : X_L = 41 Ω et R = 100 Ω

Donc :

La tension appliquée est en avance de phase de 22,3° par rapport au courant du circuit.