Autres exemples de croissance

Soit la suite u définie par u_n = n² + n + 1.

u₀ = 0 + 0 + 1 = 1 ;
u₁ = 1² + 1 + 1 = 3 ;
u₂ = 2² + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 ;
u₃ = 3² + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13.

A l'aide d'un tableur, on calcule facilement autant de termes que l'on veut :

On peut faire l'expérience suivante :

o calcul des « différences premières » :
En cellule C3, on calcule u₁ - u₀ (= B3 - B2), on recopie la formule vers le bas et on obtient donc en colonne C, les nombres u₁ - u₀, u₂ - u₁, u₃ - u₂, etc ;

o calcul des « différences secondes » :
Dans la colonne D, on calcule les différences entre 2 termes consécutifs de la colonne C. La formule placée dans la cellule D4 est égale à C4 - C3.

Les différences secondes jusqu'au rang 14 sont toutes égales à 2.
Ce résultat est vrai pour toutes les valeurs de n. En effet :
Pour tout n, u_n+1 - u_n = [(n + 1)² + (n + 1) + 1] - [n² + n + 1] = 2n + 2.
Les différences premières sont donc, pour tout n, de la forme 2n + 2 ; ce sont donc les termes d'une suite arithmétique de raison 2 et donc la différence entre deux termes consécutifs est toujours 2.

La suite étudiée est dite une suite à différences secondes constantes.

On peut faire la même expérience et le même raisonnement avec toute suite du type u_n = an² + bn + c où a, b et c sont des nombres quelconques.

Un tableur permet de calculer rapidement autant de termes de la suite que l'on veut :

Si l'on calcule pour chaque valeur de n le rapport u_n+1 / u_n, on obtient :

On observe que ces rapports ne sont pas égaux, mais qu'ils sont de plus en plus proches les uns des autres. A partir du rang 9, leurs arrondis au millième sont égaux à 1,618.

Il est intéressant d'observer la suite obtenue en changeant les deux premiers termes de la suite de Fibonacci. Si les premiers termes sont 1 et 3, on obtient :

Voici le tableau donnant le rapport entre deux termes consécutifs :

A partir du rang 9, leurs arrondis au millième sont, eux aussi, égaux à 1,618.

On démontre que lorsque n augmente, ce rapport est de plus en plus proche du nombre d'or.