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Soit la suite u définie par un = n² + n + 1.
u0 = 0 + 0 + 1 = 1 ;
u1 = 1² + 1 + 1 = 3 ;
u2 = 2² + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 ;
u3 = 3² + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13.
A l'aide d'un tableur, on calcule facilement autant de termes que l'on veut :
On peut faire l'expérience suivante :
o calcul des « différences
premières » :
En cellule C3, on calcule u1 -
u0 (= B3 - B2), on recopie la formule vers le
bas et on obtient donc en colonne C, les nombres
u1 - u0,
u2 - u1,
u3 - u2, etc ;
o calcul des « différences
secondes » :
Dans la colonne D, on calcule les différences entre 2
termes consécutifs de la colonne C. La formule
placée dans la cellule D4 est égale
à C4 - C3.
Les différences secondes jusqu'au rang 14 sont toutes
égales à 2.
Ce résultat est vrai pour toutes les valeurs de
n. En effet :
Pour tout n, un+1 -
un = [(n + 1)² + (n +
1) + 1] - [n² + n + 1] = 2n +
2.
Les différences premières sont donc, pour tout
n, de la forme 2n + 2 ; ce sont donc les termes
d'une suite arithmétique de raison 2 et donc la
différence entre deux termes consécutifs est
toujours 2.
La suite étudiée est dite une suite à différences secondes constantes.
On peut faire la même expérience et le même raisonnement avec toute suite du type un = an² + bn + c où a, b et c sont des nombres quelconques.
o les deux premiers termes sont égaux à 1 ;
o chaque terme de la suite est égal à la somme des deux termes qui le précèdent.
Les premiers termes de la suite sont : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.
Un tableur permet de calculer rapidement autant de termes de la suite que l'on veut :
Si l'on calcule pour chaque valeur de n le rapport un+1 / un, on obtient :
On observe que ces rapports ne sont pas égaux, mais qu'ils sont de plus en plus proches les uns des autres. A partir du rang 9, leurs arrondis au millième sont égaux à 1,618.
Il est intéressant d'observer la suite obtenue en changeant les deux premiers termes de la suite de Fibonacci. Si les premiers termes sont 1 et 3, on obtient :
Voici le tableau donnant le rapport entre deux termes consécutifs :
A partir du rang 9, leurs arrondis au millième sont, eux aussi, égaux à 1,618.
On démontre que lorsque n augmente, ce rapport est de plus en plus proche du nombre d'or.
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