Arbres
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Sommaire : Modèle du
restaurant - Modèle des
« podiums » - Modèle du
drapeau
Dans certaines études statistiques ou de probabilités, il faut « dénombrer » tous les cas possibles d’une situation.
Dans ce cas, « l’arbre » est un outil très pratique lorsque la situation est composée d’étapes successives.
1. Premier exemple : principe du menu
Exemple
Une entreprise de loisirs propose à ses
adhérents pour le même prix forfaitaire de faire son
programme en choisissant une activité dans chacune des
catégories suivantes :- Sports (4 au choix : S1 à S4)
- Jeux de société (4 au choix : J1 à J4)
- Développement personnel (3 au choix : D1 à D3)

Explications
Au premier niveau, on a 4 choix différents
de sports.Au deuxième niveau, on a 4 choix différents de jeux de société.
Au troisième niveau, on a 3 choix différents pour le développement personnel.
Au total (nombre de branches), on a 4 × 4 × 3 = 48 programmes différents d’activités.
Remarque
D’un point de vue général, le nombre de possibilités répertoriées dans un arbre est le produit du nombre de choix à chaque niveau.
D’un point de vue général, le nombre de possibilités répertoriées dans un arbre est le produit du nombre de choix à chaque niveau.
Autre exemple similaire : nombre de mots de 3 lettres
On a 26 choix possibles pour la première lettre, et autant pour les deuxième et troisième lettres.
Soit au total, 26 × 26 × 26 = 17 576 mots différents de 3 lettres.
2. Deuxième exemple : Principe de la distribution de
rôle
Exemple
Aux dernières élections municipales d’un
village, une liste de 6 personnes a été élue.
Parmi ces personnes, on doit désigner le bureau
exécutif composé du maire, de l’adjoint au
maire et du secrétaire de mairie.Combien de bureaux exécutifs différents peut-on créer ?
Pour visualiser toutes les possibilités, on utilisera l’arbre suivant où A, B, C, D, E, F représentent les 6 personnes.

Remarque
Dans cet exemple, l’écriture exhaustive des
branches de l’arbre serait trop longue à effectuer. On
reconstitue donc « mentalement »
l’arbre, mais on peut aussi en esquisser le début sans
tracer toutes les branches.
Explications
- Au 1er niveau, il y a 6 choix de maires différents.
- Une fois le maire choisi, au deuxième niveau il reste 5 choix pour le maire adjoint.
- Une fois le maire adjoint choisi, au troisième niveau il reste 4 choix pour le secrétaire de mairie.
Remarque
120 correspond aux nombres de branches de l’arbre.Autres exemples similaires :
-
Classement d’une course
Calculer le nombre de podiums de 3 concurrents sur 10 participants.
Sur le même principe, il y a 10 possibilités pour la première place, puis 9 pour la seconde, 8 pour la troisième, donc au total 10 × 9 × 8 = 720 podiums différents.
-
Nombre de mots différents de 3
lettres
Il y a 26 possibilités pour la première lettre, puis 25 possibilités pour la deuxième lettre, puis 24 possibilités pour la troisième lettre soit 26 × 25 × 24 = 15 600 mots différents.
3. Troisième exemple : principe de la distribution
totale des rôles
Ce principe est quasiment identique au
précédent sauf que tous les rôles sont
distribués.Dans l’exemple de la mairie, en dehors des 3 rôles du bureau exécutifs, il faut nommer un conseiller municipal pour l’économie, un pour les loisirs et un pour le social.
Combien de y-a-t-il de possibilités de répartir tous les rôles ?
En reprenant l’arbre du deuxième exemple et en complétant de la même manière jusqu’au choix du dernier conseiller on peut comptabiliser le nombre de possibilités. Chaque personne a donc un rôle.
Il y a 6 choix possibles pour le maire, 5 pour l’adjoint au maire, 4 pour le secrétaire, 3 pour le conseiller à l’économie, 2 pour le conseiller aux loisirs, puis 1 pour le conseiller aux affaires sociales.
Au total, il y a donc 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 possibilités de répartir les rôles.
Notation
Afin de simplifier l’écriture, on utilise la notation factorielle :
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! se lit « factorielle 6 ».
En règle générale, on a :
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 3 × 2 × 1.
Afin de simplifier l’écriture, on utilise la notation factorielle :
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! se lit « factorielle 6 ».
En règle générale, on a :
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 3 × 2 × 1.
Autres exemples similaires
-
Classement d’un championnat de football
comportant 10 équipes.
Le nombre de classements différents est de 10 × 9 × 8 × … × 2 × 1 = 10! = 3 628 800 classements différents.
-
Anagrammes du mot MATHS
Il y a 5 possibilités pour la première lettre, 4 pour la deuxième…
Donc au total, il y a 5! = 120 anagrammes du mot MATHS.
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