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Arbres

Sommaire : Modèle du restaurant - Modèle des « podiums »  - Modèle du drapeau

Dans certaines études statistiques ou de probabilités, il faut « dénombrer » tous les cas possibles d’une situation.
Dans ce cas, « l’arbre » est un outil très pratique lorsque la situation est composée d’étapes successives.
1. Premier exemple : principe du menu
Exemple
Une entreprise de loisirs propose à ses adhérents pour le même prix forfaitaire de faire son programme en choisissant une activité dans chacune des catégories suivantes :
  • Sports (4 au choix : S1 à S4)
  • Jeux de société (4 au choix : J1 à J4)
  • Développement personnel (3 au choix : D1 à D3)
Combien de programmes différents peut-on construire ?





Explications
Au premier niveau, on a 4 choix différents de sports.
Au deuxième niveau, on a 4 choix différents de jeux de société.
Au troisième niveau, on a 3 choix différents pour le développement personnel.
Au total (nombre de branches), on a 4 × 4 × 3 = 48 programmes différents d’activités.
Remarque
D’un point de vue général, le nombre de possibilités répertoriées dans un arbre est le produit du nombre de choix à chaque niveau.

Autre exemple similaire : nombre de mots de 3 lettres

On a 26 choix possibles pour la première lettre, et autant pour les deuxième et troisième lettres.
Soit au total, 26 × 26 × 26 = 17 576 mots différents de 3 lettres.
2. Deuxième exemple : Principe de la distribution de rôle
Exemple
Aux dernières élections municipales d’un village, une liste de 6 personnes a été élue. Parmi ces personnes, on doit désigner le bureau exécutif composé du maire, de l’adjoint au maire et du secrétaire de mairie.
Combien de bureaux exécutifs différents peut-on créer ?

Pour visualiser toutes les possibilités, on utilisera l’arbre suivant où A, B, C, D, E, F représentent les 6 personnes.





Remarque
Dans cet exemple, l’écriture exhaustive des branches de l’arbre serait trop longue à effectuer. On reconstitue donc « mentalement » l’arbre, mais on peut aussi en esquisser le début sans tracer toutes les branches.
Explications
  • Au 1er niveau, il y a 6 choix de maires différents.
  • Une fois le maire choisi, au deuxième niveau il reste 5 choix pour le maire adjoint.
  • Une fois le maire adjoint choisi, au troisième niveau il reste 4 choix pour le secrétaire de mairie.
Au total il y a 6 × 5 × 4 = 120 possibilités de bureaux exécutifs différents.
Remarque
120 correspond aux nombres de branches de l’arbre.

Autres exemples similaires :
  • Classement d’une course
    Calculer le nombre de podiums de 3 concurrents sur 10 participants.
    Sur le même principe, il y a 10 possibilités pour la première place, puis 9 pour la seconde, 8 pour la troisième, donc au total 10 × 9 × 8 = 720 podiums différents.

  • Nombre de mots différents de 3 lettres
    Il y a 26 possibilités pour la première lettre, puis 25 possibilités pour la deuxième lettre, puis 24 possibilités pour la troisième lettre soit 26 × 25 × 24 = 15 600 mots différents.
3. Troisième exemple : principe de la distribution totale des rôles
Ce principe est quasiment identique au précédent sauf que tous les rôles sont distribués.

Dans l’exemple de la mairie, en dehors des 3 rôles du bureau exécutifs, il faut nommer un conseiller municipal pour l’économie, un pour les loisirs et un pour le social.
Combien de y-a-t-il de possibilités de répartir tous les rôles ?

En reprenant l’arbre du deuxième exemple et en complétant de la même manière jusqu’au choix du dernier conseiller on peut comptabiliser le nombre de possibilités. Chaque personne a donc un rôle.

Il y a 6 choix possibles pour le maire, 5 pour l’adjoint au maire, 4 pour le secrétaire, 3 pour le conseiller à l’économie, 2 pour le conseiller aux loisirs, puis 1 pour le conseiller aux affaires sociales.
Au total, il y a donc 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 possibilités de répartir les rôles.
Notation
Afin de simplifier l’écriture, on utilise la notation factorielle :
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! se lit « factorielle 6 ».

En règle générale, on a :
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 3 × 2 × 1.

Autres exemples similaires
  • Classement d’un championnat de football comportant 10 équipes.
    Le nombre de classements différents est de 10 × 9 × 8 × … × 2 × 1 = 10! = 3 628 800 classements différents.

  • Anagrammes du mot MATHS
    Il y a 5 possibilités pour la première lettre, 4 pour la deuxième…
    Donc au total, il y a 5! = 120 anagrammes du mot MATHS.

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