Mathématiques

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PGCD de deux nombres entiers positifs  
  • 1. Multiples et diviseurs
  • 2. PGCD de deux nombres entiers
  • 3. Algorithme d'Euclide
  • 4. Nombres premiers entre eux

Objectifs
Parmi les diviseurs de deux nombres entiers, on s’intéressera à ceux qui sont communs à ces deux nombres, et tout particulièrement au plus grand d’entre eux.
Pour déterminer ce diviseur, on pourra utiliser plusieurs méthodes dont l’algorithme d’Euclide.

Qu’est-ce-qu’un multiple et un diviseur d’un nombre donné ? Qu’est-ce-que le PGCD de deux nombres entiers ? Comment déterminer le PGCD de deux nombres ? Que signifie que deux nombres entiers sont premiers entre eux ?
1. Multiples et diviseurs
Soient a et b deux nombres entiers.
Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Dans ce cas, il existe un nombre entier k tel que : a = k × b

a est un multiple de b
b est un diviseur de a

Exemple :   238 est divisible par 14   car 238 : 14 = 17
En effet, la division euclidienne de 238 par 14 donne un reste nul :

Dans ce cas, on dit que 238 est un multiple de 14 et de 17 car 238 = 14 x 17
De même, on dit que 14 est un diviseur de 238.

Remarques : 17 est aussi un diviseur de 238 car 238 : 17 = 14

Conséquence : Chaque nombre a pour diviseurs 1 et lui-même.
Dans l'exemple précédent, 1 et 17 sont des diviseurs de 17, car 17 : 17 = 1 et 17 : 1 = 17
2. PGCD de deux nombres entiers
Soient a
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