Mathématiques appliquées

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Algèbre de Boole  
  • 1. Composantes de l'algèbre de Boole
  • 2. Notion de fonction logique booléenne
  • 3. Règles de base de l'algèbre booléenne

1. Composantes de l'algèbre de Boole

Toute algèbre est composée de deux éléments : les variables et les opérateurs. Dans l'algèbre conventionnelle, les variables sont les nombres et les opérateurs sont l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

L'algèbre de Boole est, elle aussi, constituée de variables dites "booléennes" et d'opérateurs.

Variables booléennes :

Une variable booléenne est une quantité logique qui n'admet que deux états possibles : "VRAI" ou "FAUX".

L'état logique "VRAI" est symbolisé par 1. Il indique que la variable est à un niveau logique "HAUT", c'est-à-dire qu'elle existe et qu'elle est bien présente.Dans la pratique, un niveau "HAUT" peut signifier une tension de 5 V ou un contact fermé.

L'état logique "FAUX" désigne l'inverse, c'est-à-dire que la variable est absente. Elle est alors symbolisée par 0. Un contact ouvert qui ne laisse pas passer le courant ou une tension de 0 V sont des exemples de variables booléennes d'un niveau logique "BAS".

Ceci est semblable à la notion des bits du système binaire que vous avez étudié dans l'étude sur les systèmes de numérotation et de codage. En effet, une variable booléenne peut être représentée par un bit qui est égal à 0 ou à 1. Dans la pratique, ces variables sont symbolisées par les lettres de l'alphabet. Par exemple, un vérin peut être désigné par la lettre C et un moteur par la lettre M.

Opérateurs de l'algèbre Booléenne :

Trois opérateurs logiques ont été définis par Georges Boole. Ce sont les façons de combiner les variables booléennes entre elles. Il s'agit de :

  • l'addition,
  • la multiplication,
  • la négation.

Addition Booléenne "+"

Cet opérateur défini l'addition dans l'algèbre de Boole. Le symbole logique de cet opérateur est "OU". Le tableau de la figure suivante montre l'ensemble des combinaisons possibles et le résultat correspondant de l'opération logique "OU" pour deux variables booléennes a et b.

Opérateur "OU" :

a
b
"OU"
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Le résultat de l'addition booléenne prend la valeur 0 si les deux variables additionnées ont simultanément l'état logique 0. Il prend la valeur 1 si l'une des deux variables au moins ou les deux simultanément ont l'état logique 1.

Le tableau de la figure ci-dessus est appelé la table de vérité de l'opérateur "OU". Dans le cas général, la table de vérité d'une fonction logique est la compilation sous forme de tableau de l'état logique de la variable de sortie par rapport aux états logiques des variables d'entrée.

Multiplication booléenne "·"

Le symbole logique de cet opérateur est "ET". Pour deux variables booléennes, le résultat de cette opération est 0 si une variable ou les deux sont à l'état logique 0. Le résultat 1 est obtenu quand les deux variables d'entrée sont à l'état logique 1. Le tableau de la figure 2.2 présente toutes ces possibilités.

Opérateur "ET" :

a
b
"ET"
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1
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