Une équation cartésienne de droite
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Reconnaitre une équation cartésienne de droite.
- Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d’un vecteur directeur.
- Déterminer une équation cartésienne de droite à partir de deux points.
- Déterminer un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation cartésienne.
- Déterminer, à l’aide d’un algorithme, une équation de droite passant par deux points donnés.
- L’équation cartésienne d’une droite est de la forme ax + by + c = 0 avec a, b et c ∈ℝ et au moins l’un des nombres a et b non nul.
- Une droite possède une seule équation réduite, mais peut avoir plusieurs équations cartésiennes différentes. En effet, on peut toujours multiplier ou diviser une équation cartésienne par un nombre non nul.
-
(d) est une
droite, A et
B sont 2 points de
(d). On
appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur
non nul colinéaire
à 
. Autrement dit, le vecteur
donne la direction de la droite
(d).
- Si ax
+ by + c =
0 est une équation cartésienne
d’une droite (d) alors le vecteur
est un vecteur directeur de
(d).
- Pour passer d’une équation cartésienne à l’équation réduite, il suffit d’exprimer y en fonction de x.
- Pour passer de l’équation réduite à une équation cartésienne, il suffit de mettre tous les termes du même côté.
- Lire les coordonnées d’un vecteur sur un graphique
- Calculer les coordonnées du vecteur
- Connaitre la définition de deux vecteurs colinéaires
- Résoudre une équation du premier degré
Toutes les droites du plan sont caractérisées
par leur équation, qui peut s’écrire de
deux façons différentes : on parle
d’équation réduite ou
d’équation cartésienne d’une
droite. Dans cette fiche, on étudie plus
particulièrement les équations
cartésiennes de droites.
On considère le plan muni d’un repère
orthonormé 
.
y – 3x + 2 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
x – 3 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
y + 2 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Une droite possède une seule équation réduite, mais peut avoir plusieurs équations cartésiennes différentes.
En effet, on peut toujours multiplier ou diviser une équation cartésienne par un nombre non nul.
y – 3x + 2 = 0 est une équation cartésienne de droite. Mais on peut toujours multiplier cette équation par un nombre non nul.
Ainsi, si on choisit de multiplier toute l’équation par 3, on obtient une autre équation cartésienne de la même droite : 3y – 9x + 6 = 0.
De même, –6y + 18x – 12 = 0 est une autre équation cartésienne de la même droite.
On appelle vecteur directeur de (d) tout vecteur
non nul colinéaire
à 
. Autrement dit, le vecteur
donne la direction de la droite
(d).
et 
sont colinéaires
signifie que l'un est le produit de l'autre par un
réel k c’est-à-dire
ou 
.
- Tous les vecteurs non nuls colinéaires
à
sont aussi des
vecteurs directeurs de (d) : il existe donc
une infinité de vecteurs directeurs d'une
droite, tous colinéaires entre eux.
- Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d’une droite (d), alors le vecteur
est un vecteur directeur de
(d).
La droite d’équation 3x + 2y + 10 = 0 a pour vecteur directeur
.La droite d’équation –2x – 4y + 1 = 0 a pour vecteur directeur
.
Pour déterminer une équation cartésienne de droite à partir des coordonnées d’un point appartenant à cette droite et d’un vecteur directeur, on applique la propriété suivante.
On considère une droite (d) passant par le point A(xA,yA) et de vecteur directeur
.Dire que
et 
colinéaires 
.
Conséquence
Dire que 
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d) ; elle lie les abscisses et ordonnées de tout point M(x ; y) de cette droite et uniquement les points de cette droite.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d1) passant par le point A(3 ; 2) et de vecteur directeur
.Soit M(x, y) ∈ (d1). On a :
.Dire que
et 
colinéaires 
Une équation cartésienne de (d1) est donc 6x – 4y –10 = 0.
Soient A(xA ;
yA) et B(xB ;
yB) deux points d’une
droite dont on cherche une équation
cartésienne.
Le vecteur 
est un vecteur directeur de la
droite (AB).
Pour déterminer une équation
cartésienne de la droite (AB), on peut donc utiliser la
méthode du paragraphe précédent,
avec comme point de la droite, le point A et comme vecteur directeur,
le vecteur 
.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d2) passant par les points A(4 ; 5) et B(–1 ; 2).
On a :
, d’où 
.Soit
.On a :
.Dire que
et 
colinéaires
Une équation cartésienne de (d2) est donc –3x + 5y – 13 = 0.
À partir du paragraphe précédent,
on peut rédiger sur la calculatrice un
algorithme qui indique une équation
cartésienne de la droite qui passe par les
points A et
B.
Il suffit pour cela de connaitre les coordonnées
des points A et
B.
| Algorithme |
Fonction Équation (xA,
yA, xB,
yB)   afficher (“la droite a pour équation”, a, “x +”, b, ”y +”, c, ”= 0”) |
En langage Python, on obtient le programme suivant :
| Langage Python | Interprétation |
|
L1 def equation(XA,
YA, XB, YB) : |
L1 : On définit une fonction
equation de
paramètres (XA, YA, XB, YB). |
Une même équation de droite peut s’écrire sous la forme réduite ou sous la forme cartésienne. Il s’agit de deux façons différentes d’écrire une même information. On peut facilement passer d’une écriture à une autre.
L’équation réduite d’une droite est de la forme :
- y = mx + p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
- x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
- y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.
Pour passer d’une équation cartésienne à l’équation réduite d’une droite, il suffit d’exprimer y en fonction de x.
Donner l’équation réduite de la droite –3x + 5y – 13 = 0.
On a : 5y = 3x + 13,
d’où
.
Pour passer de l’équation réduite d’une droite à son équation cartésienne, il suffit de mettre tous les termes du même côté.
Donner une équation cartésienne de la droite y = 5x + 4.
Une équation cartésienne de cette droite est –5x + y – 4 = 0.
L’équation réduite y = px + d correspond à une équation cartésienne
dont un vecteur directeur est
. On a ainsi la
propriété suivante.
La droite d’équation réduite y = px + d a pour vecteur directeur
.
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