Somme des termes d'une suite géométrique- Première- Mathématiques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre la formule de la somme des
premières puissances d'un
nombre et l'utiliser.
- Savoir calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, directement ou non.
- La somme des
premières puissances de
est : 
où 
.
- La somme des
premiers termes 
d’une suite
géométrique de raison 
est : 
.
- Notion de suite
- Suite géométrique
- Terme général d'une suite
- Puissances d'un nombre
On dit qu'une suite
est géométrique
s'il existe un réel 
non nul tel que pour
tout 
on ait 
. Le réel 
s'appelle la raison de la
suite.
La suite définie par
avec 
est une suite
géométrique de raison 2.Les premiers termes de cette suite sont 1, 2, 4, 8, 16…
Dire qu'une suite de termes non nuls est
géométrique signifie que le
quotient 
de 2 termes consécutifs
quelconques est constant quel que soit 
.
Le terme général d'une suite géométrique
peut s'exprimer directement en
fonction de 
avec 
ou 
quel que soit 
.
Il est ainsi possible, connaissant 
ou 
et 
, de calculer n’importe quel
terme de la suite.
Pour une suite géométrique de raison (–0,3) et de premier terme
, on peut écrire
et ainsi connaitre directement la
valeur de n'importe quel terme de la suite.Par exemple,
.
pour 
cette somme vaut simplement
.
En multipliant S par 
on obtient : 
Soustrayons membre à membre ces
2 inégalités : 
Dans le membre de droite, 
, 
, 
, …, 
s'éliminent.
Ainsi, il reste 
.
En divisant par 
non nul pour 
, on obtient 
.
On retiendra que 
est le nombre de termes
dans la somme S.
La somme des 10 premières puissances de 2 est
.
On considère la suite géométrique
de raison 1,2 et de premier terme
.
Calculer la somme 
.
L'expression de 
en fonction de 
est 
.
Ainsi, la somme S s'écrit 
et en factorisant par 
on obtient :
En utilisant la formule 
on obtient :
.
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