Les fonctions racine carrée et valeur absolue
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par
.
.
Preuve :
Considérons 2 réels a et b de
tels que 
et
comparons 
et
en
étudiant le signe de la différence
:
en
multipliant en haut et en bas par 
qui est
non nulAinsi,
Or
donc
et
d'où
c'est
à dire 
.Ce qui prouve que la fonction racine carrée est croissante (voire strictement croissante) sur
.
Remarque :
On reconnaît ici une « demi-parabole ». En effet,
équivaut
à dire que 
avec
.
• x si
• (–x) si
La valeur absolue de x se note
.
C’est un réel toujours positif.
par 
.
et décroissante sur 
.
Preuve :
Rappelons que
lorsque 
lorsque 
Il s'agit bien d'une seule fonction mais qui prend 2 expressions différentes suivant les valeurs de x.
Or
est une fonction affine,
croissante sur 
donc sur 
et 
est une fonction affine, décroissante sur
donc sur 
.Pour tout x réel,
c’est-à-dire
pour 
et 
pour 
Un petit exemple pour comprendre la nécessité de prendre la valeur absolue de x :
, pour 
.
, 
Pour tout
, 
Preuve :
Comparons dans un premier temps x et x2 pour
.Pour comparer deux nombres, une méthode consiste à étudier le signe de la différence.
Or
.Comme
, alors 
pour 
pour 
Ainsi,
pour 
et 
pour 
.Maintenant, comparons
et x.Pour cela, nous allons utiliser le résultat précédent et le fait que la racine carrée est croissante sur les nombres positifs.
Pour
: 
, donc 
, d'où 
(
lorsque 
).Pour
: 
donc 
,
d'où 
.Interprétation graphique :
Sur
la courbe d’équation y = x
est au dessus de la courbe d’équation y
= x2 et en dessous de la courbe
d’équation 
.Sur
la courbe d’équation y = x
est au dessus de la courbe d’équation
et en dessous de la courbe d’équation
y = x2 .
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