Factoriser par complétion du carré
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Savoir factoriser par complétion du carré.
- Cette méthode permet d'obtenir la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 sans recourir aux formules.
- Cette méthode permet d'obtenir les racines d'une fonction polynôme de degré 2 sans utiliser le discriminant.
- Cette méthode justifie l'approximation de la racine carrée d'un entier positif par la méthode de Héron d'Alexandrie.
- Identités remarquables du collège :
-
- Forme canonique d’un polynôme du second degré
- Racines d’une fonction polynôme du second degré
Une fonction polynôme de degré 2
s'écrit sous la forme
où 
, 
, 
sont des réels
avec 
.
Si on la factorise par 
on obtient 
.
L'idée est de manipuler la somme des
2 premiers termes du crochet 
pour la faire correspondre au
début de l'identité remarquable
qui s'écrit aussi
avec 
.
Pour cela :
- On multiplie par 2 le dénominateur et le
numérateur du deuxième terme pour faire
apparaitre le facteur 2 :
. On identifie alors
(avec 
) qui correspond au début
de l’identité remarquable
.
- On complète l’identité
remarquable en ajoutant et soustrayant
(complétion du
carré) pour avoir l’identité
remarquable en intégralité :
.
- On exploite l’identité remarquable
avec 
. On a alors : 
On a ainsi transformé la somme 
en différence de
2 carrés.
par complétion du
carré.
- On fait apparaitre le facteur 2 dans le second
terme :
.
On identifie
, avec 
.
- On complète l’identité
remarquable :
.
- On exploite l’identité
remarquable :
.
On obtient :
.
Il est possible d’obtenir la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré à partir de sa forme développée par complétion du carré.
- Factoriser par
: 
(1).
- Transformer la somme des 2 premiers termes du
crochet (
) pour faire apparaitre le
facteur 2 : 
. C’est le
début d’une identité remarquable.
- Compléter pour avoir l’identité
remarquable
:
.
- Exploiter l’identité remarquable
:
.
- Remplacer
dans (1) :
.
- Mettre au même dénominateur les
2 derniers termes du crochet :
.
- Développer
: 
est la forme canonique
de 
.
.
- Il n’est pas nécessaire de
factoriser par
.
- On fait apparaitre le facteur 2 dans le
terme en
: 
. C’est le
début de l’identité remarquable
avec 
.
- On complète pour avoir
l’intégralité de
l’identité remarquable :
.
- On exploite l’identité remarquable
avec 
et on obtient :
.
- On remplace
par 
et on obtient :
.
- On calcule le dernier terme :
.
est la forme
canonique de 
.
.
- On factorise par 2 :
.
- On fait apparaitre le facteur 2 dans le
terme en
: 
. C’est le
début de l’identité remarquable
avec 
.
- On complète pour avoir
l’intégralité de
l’identité remarquable :
.
- On exploite l’identité remarquable
avec 
et on obtient
.
- On remplace
par 
et on obtient :
.
- On calcule le dernier terme :
.
On obtient
.
- On développe 2 :
est la forme
canonique de 
.
On reprend les 6 premières
étapes qui mènent à la forme
canonique de 
, par complétion
du carré.
On a alors : 
.
Étape 7 : on regarde le signe du deuxième terme du crochet.
- Si le terme constant
est positif, on
applique l'identité remarquable 
au crochet pour le
factoriser et obtenir ainsi les racines du
polynôme : 
et 
.
- Si le terme
est strictement
négatif, alors 
est strictement positif.
Comme 
, le crochet est donc
strictement positif. 
ne possède
aucune racine qui l'annule.
.
- Il n’est pas nécessaire de
factoriser par
.
- On fait apparaitre le facteur 2
dans
:
. C’est le
début de l’identité remarquable
avec 
.
- On complète pour avoir
l’intégralité de
l’identité remarquable :
.
- On exploite l’identité remarquable
avec 
: 
.
- On remplace
par 
et on obtient :
.
- On calcule le dernier terme :
.
- Puisque
, on factorise avec
l'identité remarquable 
: 
.
Ainsi
a pour racines
–5 et –3.
Héron d’Alexandrie, ingénieur, mécanicien et mathématicien grec du 1er siècle après J.-C., a mis au point une méthode permettant d'obtenir une valeur approchée de la racine carrée d'un entier à l'aide d'opérations simples.
.
- On sait que
, donc
que 
et donc
que 
.
- On écrit
et on utilise la
méthode de complétion du carré
avec cette dernière somme : 
.
- On en déduit la valeur approchée
cherchée en négligeant
: 
donc 
c'est-à-dire 
.
. En une étape, on a
2 décimales exactes.
On peut itérer la méthode en donnant
à 
le rôle joué
par 8 à l'étape
précédente :
et on réutilise la
complétion du carré : 
Et comme
on a : 
.Ainsi, en négligeant le dernier terme :
donc 
.Or
et la calculatrice donne
.En 2 étapes, on a 5 décimales exactes.
On peut itérer à nouveau la méthode qui est en fait un algorithme. Les calculs devenant fastidieux, il sera opportun de programmer cet algorithme avec Python, ou un tableur par exemple.
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