La limite d'une suite
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- Établir la convergence d’une suite vers +∞ ou –∞.
- Établir la divergence d’une suite vers +∞ ou –∞.
- Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l’infini ou si elle n’a pas de limite.
- Une suite (un) est convergente vers
un nombre réel l si, pour tout intervalle
I centré
en l, il
existe un rang p, à partir duquel les
termes de cette suite appartiennent
à I. On
note
.
- Une suite est dite divergente si elle n’est pas convergente. Il existe deux sortes de suites divergentes : celles qui tendent vers l’infini et celles qui n’ont pas de limite.
Connaitre la notion de suite.
On considère la suite 
définie
par 
pour tout n > 0.
Observons le comportement de 
lorsque 
prend de très grandes
valeurs positives.
|
1 | 10 | 50 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
|
1 | 0,32 | 0,14 | 0,1 | 0,03 | 0,0100000 | 0,0031623 | 0,0010000 |
Il semblerait que les termes de la suite s'accumulent
près de 0 lorsque 
tend vers 
, c'est-à-dire que la
suite tend vers 0.
On peut noter 
.
Donnons-nous un intervalle contenant 0, par
exemple 
.
Existe-t-il un rang à partir duquel tous
les 
rentrent dans cet
intervalle ?
Pour cela, résolvons la double inéquation
.
Tout d'abord, l'inégalité 
est toujours
vérifiée puisque 
est toujours positif donc
a fortiori plus grand qu'un nombre
négatif.
Déterminons 
tel que 
soit 
.
La fonction inverse est décroissante
sur 
, donc cela revient à
dire que 
soit 
.
Conclusion : à partir de 
, 
, c'est-à-dire, pour
tout entier n > 1000,
.
Prenons en général un intervalle
quelconque centré en 0, soit 
, avec a un nombre réel
positif, et cherchons un rang p tel que, à partir
de ce rang, tous les termes de cette suite rentrent
dans cet intervalle.
En effet, un ∈ I est équivalent
à 
, soit 
.
est positif, donc il est plus
grand que –a qui est négatif,
donc on résout l'équation 
.
On a démontré que, pour tout intervalle
I centré en
0, il existe un rang tel que, pour
tout 
supérieur à ce
rang, 
soit dans I.
Ainsi, les termes de la suite s'accumulent près
de 0.
On dira que la suite 
converge (tend)
vers 0 ou que la suite 
a pour limite 0
lorsque 
tend vers 
.
On pourra écrire 
.
une suite de nombres
réels.Une suite
est convergente vers un
nombre réel l si, pour tout
intervalle I
centré en l, il existe un
rang p
à partir duquel les termes de cette suite
appartiennent à I.On note
.
On considère la suite
définie par 
pour tout n entier naturel non
nul.Observons le comportement de
lorsque 
prend de très grandes
valeurs positives.
Il semblerait que les termes de la suite s’accumulent autour de 2 lorsque
tend vers 
, mais alternativement au-dessus
et en dessous de 2.La suite
semble être une suite
convergente qui a pour limite 2.Démontrons que cette suite est bien convergente vers 2.
Soit I un intervalle quelconque centré en 2, c’est-à-dire I = ]2 – a ; 2 + a[ avec a un nombre réel positif. Cherchons à partir de quel rang tous les termes de la suite appartiennent à I.
En effet, un ∈ I ⟺ 2 – a < un < 2 + a.
On procède par équivalences :
Donc, à partir du rang n (qui est supérieur à n), tous les termes de la suite appartiennent à I, donc la suite converge vers 2.
Les suites de terme
général 
avec 
entier supérieur ou
égal à 1, tendent vers 0
lorsque 
tend vers 
.
Les suites de terme général 
, avec
–1 < q < 1,
tendent vers 0 lorsque 
tend vers 
.
Il existe deux sortes de suites divergentes : celles qui tendent vers l’infini et celles qui n’ont pas de limite.
Considérons la suite
définie
par 
.Observons le comportement de
lorsque 
prend de grandes valeurs.
|
|
0 | 1 | 10 | 50 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 |
|
|
–1 | –0,9 | 9 | 249 | 999 | 99 999 | 9 999 999 | 999 999 999 |
deviennent de plus en plus
grands et tendent vers 
lorsque 
tend vers 
.Comment expliquer cette divergence vers
?Prenons par exemple A = 106. Existe-t-il un rang
tel que pour 
, on ait 
?
Ainsi, à partir de
, les termes 
sont supérieurs
à 106.On démontre de même que cela est vrai pour tout nombre réel A choisi aussi grand que l’on veut.
On dit alors que la suite
tend vers 
lorsque 
tend vers 
.On pourra écrire :
.
On dit qu’une suite est divergente et tend vers –∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont inférieurs à A.
Reprenons la suite de l’exemple précédent :
.Montrons que cette suite est divergente et tend vers + ∞.
Soit A un nombre réel quelconque, on cherche à partir de quel rang les termes sont supérieurs à A.
Si A + 1 est négatif, n2 est positif, donc l’inégalité est vraie pour tous les entiers.
Donc tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
Si A + 1 est positif :
.Donc, à partir du rang qui est juste supérieur à
, tous les termes de la suite
sont supérieurs à A.
Considérons par exemple la suite
définie
par 
.
La suite est divergente, sans admettre de limite. On ne peut pas « canaliser » la direction des termes
.C'est le cas notamment de toute suite géométrique de raison strictement inférieure à –1.
On ne pourra pas utiliser la notation
lorsque aucune limite n'existe
pour la suite étudiée.
Les suites de terme général 
; n ; n2 ;
… ; np, avec
p entier
supérieur ou égal à 1,
tendent vers 
lorsque n tend
vers 
.
Les suites de terme général 
avec 
tendent vers 
lorsque 
tend vers 
.
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