Factoriser : quelle méthode choisir ?

Si , alors et  est un facteur commun évident.

Exemple : Factoriser 
donc

Si , ne peut pas être un facteur commun. On essaye une autre méthode.

1. On factorise par  de sorte à obtenir un terme en  de coefficient 1 dans l'expression à factoriser : .
   Pour la suite, on considère que la fonction polynôme à factoriser possède un terme en  de coefficient 1.
2. On teste si est de la forme d'une des 3 identités remarquables :
   qui se factorise ainsi :  (1)
   qui se factorise ainsi :  (2)
   qui se factorise ainsi :  (3)
   Pour cela, on écrit le terme constant sous la forme du carré d'un nombre , on teste si le coefficient du terme en  vaut , on vérifie que le signe de chaque terme convient et on emploie la formule.

Exemples
 : , donc on peut écrire
 : ici , mais  et non , aucune identité ne s'applique.
 : ici , mais on a –49 et non +49, aucune identité ne s'applique.

Si aucune identité ne s'applique, on essaie d'identifier les racines à travers leur somme et leur produit (voir C) ou on part à la recherche d'une racine évidente (voir D), ou les deux à la fois.

Dans les cas où , le polynôme est de la forme , avec  la somme et  le produit des racines.

Pour trouver les racines, on essaie de décomposer le terme constant de la fonction polynôme en produit de 2 nombres, et on calcule la somme de ces 2 nombres en espérant trouver l'opposé du coefficient du terme en .

Si cela correspond, alors les 2 nombres sont les racines cherchées et on peut factoriser.

Exemple :
Ici, 16 = 1 × 16 ; 16 = 2 × 8 ; 16 = 4 × 4. Or, 1 + 16 = 17 et 17 ≠ 10 ; 4 + 4 = 8 et 8 ≠ 10. Mais 2 + 8 = 10 donc 2 et 8 sont les racines cherchées et .

Pour chercher une racine évidente, on calcule l'image d'entiers simples proches de 0, comme 0, 1, 2, 3 puis –1 ou –2 ou –3 en espérant que cette image soit 0 et que le nombre testé soit ainsi une racine évidente de la fonction polynôme.

Cette racine évidente peut aussi se lire sur la courbe représentative de la fonction polynôme.

On trouve la deuxième racine en exploitant la règle sur la somme et le produit des racines, ou bien par identification des coefficients :

Exemple :
Ici on voit facilement que 1 est une racine évidente :
.
On note la deuxième racine, on sait que .
On développe à droite pour obtenir et on identifie  à l'aide du terme constant : (ou bien à l'aide du terme en  : donc ).

Cette méthode est moins astucieuse que les précédentes, mais permet d'obtenir une factorisation même si on a oublié les formules du discriminant !

On commence par voir les termes en  et en  comme le début d'une identité remarquable :

• L'identité qui se factorise ainsi : . On peut écrire : , puis on termine la factorisation à l'aide de l'identité remarquable (1).
• L’identité qui se factorise ainsi : . On peut écrire : , puis on termine la factorisation à l'aide de l'identité remarquable (1).

Exemple
n'a pas la forme d'une identité remarquable, ne possède pas de racine évidente.
On écrit donc puis . On ajoute –20 de chaque côté : et comme on a .
On applique l'identité remarquable (1) : .