Nombres pairs et impairs
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre les définitions d’un entier pair et d’un entier impair.
- Résoudre des problèmes mobilisant ces notions.
- Tester si un nombre est pair ou impair à l’aide d’un algorithme.
- Un nombre pair est un entier multiple de 2. Un nombre impair est un entier non multiple de 2.
- On suppose que
est un entier. 
est pair si, et seulement si,
il existe un entier relatif 
tel que 
.
- On suppose que
est un entier. 
est impair si, et seulement
si, il existe un entier relatif 
tel que 
.
- Il existe plusieurs règles sur la somme et le produit de deux nombres pairs ou impairs.
- Le carré d'un entier impair est impair.
- Nombres entiers naturels et relatifs
- Multiple d’un entier
- Équivalence et réciproque
- Algorithmique
Un nombre impair est un entier non multiple de 2.
Les nombres 10,6, –2,7 et
ne sont ni pairs ni
impairs.En effet, ce ne sont pas des entiers.
Les nombres 2, –1000 et 0 sont pairs. En effet :
- ce sont des entiers ;
- ce sont des multiples de 2 puisque 2 = 2 ×
1 ;
–1000 = 2 × (–500) ; 0 = 2 × 0.
Les nombres 5, 1, –327 sont impairs. En effet :
- ce sont des entiers ;
- 5 = 2 ×
. Comme 
, 5 n’est pas
multiple de 2. Donc il est impair.
Il en va de même pour 1 et –327 :
1 = 2 ×
; –327 = 2
× 
.
et 
ne sont pas entiers,
donc 1 et –327 sont impairs.
Tout nombre entier est pair ou impair.
« Étudier la parité d’un nombre » revient à déterminer si ce nombre est pair ou impair.
On suppose que
est un entier relatif.
-
est pair si, et
seulement si, il existe un entier
relatif 
tel
que 
.
-
est impair si, et
seulement si, il existe un entier
relatif 
tel que 
.
Dans chacune des propriétés ci-dessus, le « si, et seulement si » indique une équivalence. On peut donc utiliser la propriété dans les deux sens. Par exemple, pour la propriété 1 :
- sens direct : si on sait que
l’entier
est pair, alors on
peut en conclure que
l’entier 
s’écrit 
,
où 
est un entier relatif,
non nécessairement connu.
- sens réciproque : si on sait que
l’entier
s’écrit 
,
où 
est un entier relatif,
alors on peut en conclure que 
est pair.
Pour démontrer qu'un nombre 
est pair ou impair :
- vérifier que c’est un entier ;
- chercher s’il est multiple de 2 ou non
multiple de 2.
Pour cela, écrire
et vérifier si le
nombre 
est un entier.
- Si oui,
est un multiple
de 2, donc il est pair ;
- sinon,
n’est pas un
multiple de 2, donc il est impair.
- Si oui,
Le nombre
est-il pair ou
impair ?On applique la méthode :
-
est la somme de deux
entiers portés au carré, c’est
donc un entier.
- On utilise le sens réciproque des
propriétés 1 et 2.
étant un entier
relatif, si un nombre entier peut
s’écrire sous la
forme 
, alors ce nombre est
pair. S’il peut s’écrire sous la
forme 
, alors ce nombre est
impair. On essaie donc
d’exprimer 
sous la
forme 
ou 
.
-
. On reconnait
ici une identité remarquable :
.
- Alors
.
Comme
est un entier,
on en déduit que
l’entier 
peut
s’exprimer sous la forme 
,
où 
est un entier
relatif.
-
est donc pair.
Le nombre
, avec 
un entier relatif, est-il pair ou
impair ?On applique la méthode :
-
est la somme de deux
entiers, c’est donc un entier.
- On utilise le sens réciproque des
propriétés 1 et 2.
étant un entier
relatif, si un nombre entier peut
s’écrire sous la
forme 
, alors ce nombre est
pair. S’il peut s’écrire sous la
forme 
, alors ce nombre est
impair. On essaie donc
d’exprimer 
sous la
forme 
ou 
.
-
peut aussi
s’écrire : 
.
- Donc, si on pose
,
alors 
et 
est un entier,
car 
en est un.
-
est donc impair.
Le nombre obtenu par la somme de deux nombres pairs ou impairs obéit aux règles suivantes :
| + | pair | impair |
| pair | pair | impair |
| impair | impair | pair |
Le nombre obtenu par le produit de deux nombres pairs ou impairs obéit aux règles suivantes :
| × | pair | impair |
| pair | pair | pair |
| impair | pair | impair |
On suppose que
est un entier relatif.Les nombres
et 
sont-ils pairs ou
impairs ?On applique la méthode et la propriété 3 sur la somme pour
:
-
est la somme de deux
entiers, c’est donc un entier.
- L’entier
est pair
(réciproque de la
propriété 1) et –31
est impair.
D’après la propriété 3, si un entier est la somme d’un entier pair et d’un entier impair, alors il est impair.
est donc impair.On applique la méthode et la propriété 3 sur le produit pour
, à condition de
considérer une forme factorisée :
.
-
est le produit de
deux entiers, c’est donc un entier.
- L’entier
est pair ou impair
et 
est de parité
différente : il sera impair ou pair
selon la parité de 
.
D’après la propriété 3, si un entier est le produit de deux entiers pair et impair, alors il est pair.
est donc pair.
Le carré d’un entier impair est impair.
On suppose que
est un entier relatif. Le
nombre 
est-il pair ou impair ? On applique la propriété 4 après avoir trouvé une forme factorisée de
grâce à l’identité
remarquable 
, où 
et 
. 
est le carré d’un entier,
c’est donc un entier.L’entier
est impair (réciproque de la
propriété 2). D’après la propriété 4, si un entier est le carré d’un entier impair, alors il est impair. Donc
est impair.
On peut tester à l’aide d’un programme si un entier est pair ou impair. C’est surtout intéressant pour un nombre dont l’écriture ne donne pas directement le résultat.
Algorithme 1
| Langage Python | Interprétation |
|
L1 a=int(input("Entrer un
entier :")) L2 if type(a/2)==int: L3 print(a,"est pair") L4 else: L5 print(a,"est impair") |
Demander à l’utilisateur
d’entrer un entier a
Si a/2 est un entier alors afficher que a est pair sinon afficher que a est impair Fin Si |
Algorithme 2
| Langage Python | Interprétation |
|
L1 a=int(input("Entrer un
entier :")) L2 if a%2==0: L3 print(n,"est pair") L4 else: L5 print(n,"est impair") |
Demander à l’utilisateur
d’entrer un entier a Si le reste de la division de a par 2 est nul alors afficher que a est pair sinon afficher que a est impair Fin Si |
- Algorithme 1, L2 : type(a)==int est un booléen qui détermine si la variable numérique a est un entier ou non.
- Algorithme 2, L2 : a%b indique
le reste d’une division euclidienne de
a par b.
La division euclidienne d’un entier a par un entier b non nul détermine les uniques entiers q et r tels que :
a = bq + r ; 0 ≤ r < b.
Les entiers q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division de a par b. - Algorithmes 1 et 2, L2 et L4 : if… else… font partie de la structure conditionnelle.
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