Les vecteurs
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Définir une translation.
- Repérer deux vecteurs égaux.
- Utiliser l’égalité de deux vecteurs dans une résolution de problème mettant en jeu des parallélogrammes.
- La translation qui transforme le point A en le point A’ s’appelle la
« translation de
vecteur
». On dit que le point A' est l'image du point
A par la translation
de vecteur 
.
- Les caractéristiques d’un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme.
- Un vecteur qui a le même point pour origine et
pour extrémité est appelé vecteur nul
et est noté
. Ce vecteur n’a pas de
direction, pas de sens et sa norme est égale
à 0.
- Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
-
ABCD est un
parallélogramme
.
- Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même norme mais ont des sens contraires.
Translation
Pour caractériser ce déplacement, on peut
relier un point noté A de la figure de départ
au même point noté A’ de la figure
d’arrivée par une flèche que
l’on appellera vecteur. On notera ce vecteur
à l’aide de son point d’origine et de
son extrémité sous la forme
: 
.
».On dit que le point A' est l'image du point A par la translation de vecteur
.
On considère le vecteur 
tracé
précédemment.
- sa direction : la droite (AA’) ;
- son sens : de A vers A’ ;
- sa norme : la longueur AA’ notée
aussi
.
Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté
. Ce vecteur n’a pas de
direction, pas de sens et sa norme est égale
à 0.
On reprend la figure de la moto avec la translation qui transforme A en A’ :
Sur cette figure, les vecteurs 
, 
et 
ont :
- la même direction, car les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont parallèles ;
- le même sens, c’est-à-dire vers la droite ;
- la même norme, car les longueurs AA’, BB’ et CC’ sont égales.
Ainsi, on peut écrire que 
.
Remarque : les vecteurs , et sont des représentants d'un
même vecteur que l'on peut noter à
l'aide d'une lettre minuscule 
. On note alors 
.
On considère le rectangle ABCD de centre O.
Les propriétés vues au collège permettent de dire que les côtés de ce rectangle sont parallèles deux à deux et de même longueur.
On peut donc écrire les égalités vectorielles suivantes :
ou 
ou 
ou 
. De plus, les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu. On peut donc écrire les égalités vectorielles suivantes :
ou 
ou 
ou 
.
On considère le parallélogramme ABCD suivant.
Les côtés d’un
parallélogramme sont parallèles deux
à deux et de même longueur, on peut donc
écrire que 
.
Réciproquement, un quadrilatère qui a
deux côtés parallèles et de
même longueur est un parallélogramme donc,
si 
, alors le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme.
On peut donc retenir des deux points précédents :
.
Les vecteurs
et 
sont des vecteurs opposés : ils ont la
même direction, c’est-à-dire la droite
(AB) ; la même
norme, c’est-à-dire la longueur AB ; par contre ils n’ont
pas le même sens, le vecteur 
a son sens de A vers B alors que le
vecteur 
a son sens de B vers A. On note 
.
Sur la figure ci-dessous, AEFG est un parallélogramme.
Les vecteurs
et 
ont la même
direction, la même norme et des sens contraires,
donc ce sont des vecteurs opposés et on peut
écrire 
.Les vecteurs
et 
ont la même direction, la même norme
et des sens contraires, donc ce sont des vecteurs
opposés et on peut écrire 
.
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