Les ensembles de nombres
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre les différents ensembles de nombres.
- Écrire un nombre rationnel ou décimal sous forme de quotient.
- Donner une valeur approchée ou arrondie d’un nombre décimal.
- Donner un encadrement, d’amplitude donnée, d’un nombre réel par des décimaux.
- On appelle nombres réels tous les nombres
susceptibles de mesurer la longueur d’un segment,
ainsi que tous leurs opposés. L’ensemble des
nombres réels est noté
.
- Tout nombre réel possède une écriture décimale, composée d’un signe (+ ou –), d’un nombre entier (avant la virgule) et de décimales (chiffres après la virgule). Il y a un nombre infini de décimales, qui peuvent néanmoins ne pas être écrites si elles sont toutes nulles.
- Un nombre réel est un entier naturel
s’il est positif et si son écriture
décimale ne contient que des zéros.
L’ensemble des entiers naturels { 0 ;
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … } est
noté
.
- Un nombre réel est un entier relatif si
son écriture décimale ne contient que des
zéros. L’ensemble des entiers relatifs
{ ... ; –4 ; –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 … } est noté
.
- Un nombre rationnel est un nombre réel
qui peut s’écrire sous la forme d’un
quotient
, où
est un
entier relatif et 
un
entier relatif différent de 0. L’ensemble
des nombres rationnels est noté 
(comme
« quotient »).
- Un nombre réel qui n’appartient pas
à
est dit
irrationnel.
- Un nombre décimal est un nombre
réel qui peut s’écrire sous la
forme
où
est un
entier relatif et 
est un
entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux
est noté 
(comme
« décimal »).
- Soient un entier
naturel et
un nombre
réel. Il existe deux nombres décimaux
et
tels
que
et tels
que 
et
.
Le nombre
est la
valeur approchée de 
à
près par défaut et le nombre 
est la
valeur approchée de 
à
près par excès.
Les nombres
et
donnent
un encadrement de 
par des
décimaux à 
près.
Les nombres
et
sont des
arrondis de 
à
chiffres
après la virgule.
- Inclusion d'ensembles (
)
- Théorème de Pythagore
Le plan est muni d’une unité de longueur.
.
Ces nombres permettent également de mesurer des « grandeurs » : aires, volumes, températures, durée, etc...
- 0, car il mesure la longueur de tout segment réduit à un seul point.
-
, car il mesure la
diagonale d’un carré de
côté 1. En effet, si on
nomme 
ce carré,
alors 
(application du
théorème de Pythagore). Comme le
côté est 1, on a 
et
donc 
.
-
, car il est
l’opposé de 
qui est réel.
Tout nombre réel possède une écriture décimale, composée d’un signe (+ ou –), d’un nombre entier (avant la virgule) et d'un nombre infini de décimales (chiffres après la virgule). Ces décimales peuvent néanmoins ne pas être écrites si elles sont toutes nulles.
-
… le zéro se
répète à l’infini.
-
… le 6 se
répète à l’infini.
-
… la
séquence 54 se répète à
l’infini.
-
… il y a une
infinité de décimales, sans
répétition infinie (c’est aussi
le cas pour 
, 
, …).
L’ensemble des entiers naturels { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … } est noté
.
; 
;
;
et
L’ensemble des entiers relatifs { ... –4 ; –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 … } est noté
.
; 
; 
;
et
où est un
entier relatif et
est un entier naturel.L'ensemble des nombres décimaux est noté
(comme
« décimal »).
-
car 
s’écrit 
avec 
et 
-
car 
s’écrit 
avec 
et 
-
car 
-
car 
ne peut pas
s’écrire sous la
forme 
avec 
un entier relatif
et 
un entier naturel
-
pour les
mêmes raisons que 
-
: 
n’est pas
un nombre rationnel, donc ne peut pas être un
nombre décimal.
L’écriture décimale d’un nombre décimal se termine par une infinité de zéros. Seuls les nombres décimaux possèdent cette propriété.
-
... (infinité
de zéros) et 
-
... (infinité
de zéros) et 
-
... (infinité
de six) et 
Soient
un
entier naturel et
un nombre réel. Il existe deux nombres
décimaux
et tels
que et
tels que et
.Le nombre
est la
valeur approchée de à
près par défaut et le nombre est la
valeur approchée de à
près par excès.Les nombres
et
donnent un encadrement de par
des décimaux à près.Les nombres
et
sont
des arrondis de à
chiffres
après la virgule.
Pour obtenir l'encadrement par deux
décimaux 
et
(avec
) d'un
réel 
est à 
près, il faut :
- trouver , qui correspond au
réel
en écriture
décimale, en ne gardant que les premières
décimales de ;
- trouver , qui correspond à
;
- conclure en remplaçant les valeurs de
et :
.
Donner un encadrement de
à 
près.
- L'écriture décimale de
est
donc 
(on ne garde que les
trois première décimales).
-
.
- On conclut :
est un encadrement
de à près.
Pour savoir si un encadrement par deux décimaux
et (avec 
) d'un réel est à 
près ou pas, calculer
.
Si 
, alors l'encadrement est
à près ;
Si 
, alors l'encadrement n'est pas
à 
près.
Si on pose
..., alors 
.Si on pose
et 
, alors on a :
avec 
et 
qui sont bien des
décimaux donc cet encadrement de 
est à 
près.
Dans un problème, on peut demander de donner la valeur approchée d’un résultat, en arrondissant avec un nombre de décimales adapté à la réponse attendue : ce sont les chiffres significatifs.
Un triangle
est rectangle en 
et on sait 
et
.
Donner une valeur approchée de 
au
centimètre près.D’après le théorème de Pythagore, on a :
.Par conséquent :
et
donc 
et
donc 
.Comme on demande un résultat approché au centimètre près, on doit donc choisir deux chiffres après la virgule et on peut répondre
.
,
où est un
entier relatif et un
entier relatif différent de 0.L’ensemble des nombres rationnels est noté
(comme
« quotient »).
-
car 
s’écrit 
, avec 
et 
-
car 
(
et 
)
-
car 
(
et 
)
-
car 
-
-
: on ne peut trouver
aucun quotient 
avec des entiers qui
soit égal à 
L'écriture décimale d'un nombre rationnel se termine par la répétition infinie d'un nombre ou d'une séquence de nombres. Seuls les nombres rationnels possèdent cette propriété.
-
… (infinité
de zéros) et 
-
… (infinité
de six) et 
-
… (infinité
de la séquence 54) et 
-
… (infinité
de décimales, sans répétition
infinie) et 
est dit
irrationnel.
Le nombre
n’est pas un nombre rationnel. C’est donc un
irrationnel.
est un
(entier) naturel.Un nombre réel qui appartient à
est un
(entier) relatif.Un nombre réel qui appartient à
est un décimal.Un nombre réel qui appartient à
est un
rationnel.Un nombre réel qui n’appartient pas à
est un
irrationnel.
Ces qualificatifs déterminent la nature du nombre réel étudié.
On a les inclusions suivantes :
.
25 est un entier naturel (
), c'est aussi un entier relatif (
), un décimal (
), un rationnel (
)
et un réel (
).
est un décimal (
), c'est aussi un rationnel (
)
et un réel (
).
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